Почему Этот Метод Глобальный?

	До перемещения	После перемещения
Узловые кривые
Поверхности

Глобальная Аппроксимация Поверхностей

Пусть нам нужно найти поверхность B-spline, аппроксимирующуюся к (m+1)×(n+1) исходным точкам. Из-за того, что аппроксимирующая поверхность не содержит все исходные точки, то, как и в случае с аппроксимацией кривых, у нас есть контроль над степенью и количеством контр. точек. Таким образом, в добавок к исходным точкам, входными данными являются также степени p и q в направлениях u и v, и количество рядов e+1 и столбцов f+1 контр. точек. Как в случае с кривыми, входные значения должны удовлетворять условию m > e >= p >= 1 и n > f >= q >= 1, чтобы было возможно найти решение. С этой информацией, искомая поверхность B-spline степени (p,q), определенная по (e+1)×(f+1) неизвестным контр. точкам p_ij имеет следующий вид:

Так как имеется m+1 рядов исходных точек, то нам нужно m+1 параметров в направлении u, s₀, s₀, ..., s_m. Аналогично, нужно n+1 параметров в направлени v, t₀, t₀, ..., t_n. Вычисление этих параметров обсуждалось в Параметрах и Узловых Векторах для Поверхностей. При наличии этих параметров, точка на поверхности, соответствующая исходной точке d_cd, вычисляется следующим образом:

Квадрат расстояния погрешности между d_cd и соотв. ей точке на поверхности равен

Сумма всех квадратов расстояний погрешности равна:

Это функция [in] (e+1)×(f+1) неизвестных контр. точек p_ij. Как мы уже делали в случае с глобальной аппроксимацией кривых, чтобы найти минимум f(), вычислим ее частныке производные и приравняем их к нулю:

Теперь у нас есть (e+1)×(f+1) уравнений, нули которых соответствуют искомым контр. точкам. К сожалению, эти уравнения нелинейные, а решение системы нелинейных уравнений - это очень трудоемкий процесс. Вместо поиска оптимального решения можно просто найти достаточно хорошее решение без нахождения минимума функции f(). [Rather than aiming for an optimal solution, we can easily find a reasonably good solution that does not minimize function f().]

Поиск Решения

Чтобы найти не-оптимальное решение, применим технику, использованную в Глобальной Интерполяции Поверхностей. Говоря точнее, применим аппроксимацию кривой к каждому столбцу исходных точек, чтобы найти некоторые "промежуточные" исходные точки. Таким образом, для каждого столбца из m+1 исходных точек мы получим e+1 "промежуточных" исходных точек. Так как есть n+1 столбцов, то эти "промежуточные" исходные точки образуют сетку (e+1)×(n+1). Далее, применяем аппроксимацию кривой к каждому ряду этих промежуточных исходных точек, чтобы получить искомые контр. точки. Так как в каждом ряду n+1 "промежуточных" исходных точек, всего есть e+1 рядов, каждая аппроксимация ряда дает f+1 искомых контр. точек, и, в результате, получим (e+1)×(f+1) контр. точек. Вотобобщение всего сказанного:

Вход: (m+1)×(n+1) исходных точек dij, степень (p,q), и            и желаемые e+1 рядов f+1 столбцов контр. точек; Выход: Поверхность B-spline степени (p,q), аппроксимирующая эти исходные точки (т.е. приближающаяся к ним - прим. перев.); Алгоритм: Вычисляем параметры в направлении u s0, s1, ..., sm и узловой вектор U; Вычисляем параметры в направлении v t0, t1, ..., tn и узловой вектор V; for d := 0 to n do /* для столбца d из d */ begin /* вычисляем "промежуточные исходные точки" q */ Применяем аппроксимацию криивой к столбцу d исходных точек (т.e. d0d, d1d, ... dmd), используя степень p параметры s0, s1, ..., sm узловой вектор U Результат - это столбец d из "промежуточных исходных точек" q0d, q1d, ..., qed /* q образуют матрицу (e+1)×(n+1) */ end for c := 0 to e do /* для ряда c из q */ begin /* вычисляем искомые контр. точки p */ Применяем аппроксимацию кривой к ряду c из q (т.e. qc0, qc1, ... qcn), используя степень q параметры t0, t1, ..., tn узловой вектор V Результат - это ряд c искомых контр. точек pc0, pc1, ..., pcf /* p образуют матрицу (e+1)×(f+1) */ end Найденные (e+1)×(f+1) контр. точек pij, степень (p,q), и узловые векторы U и V определяют аппроксимирующую кривую B-spline степени (p,q) для данных исходных точек.

В этом алгоритме к столбцам d применяется n+1 аппроксимаций кривой, а затем к "промежуточным" исходным точкам еще e+1 аппроксимаций. Таким образом, всего n+e+2 аппроксимаций. С другой стороны, можно применить m+1 аппроксимаций кривой к каждому ряду исходных точек, чтобы получить (m+1)×(f+1) "промежуточных" исходных точек. Затем применить f+1 аппроксимаций к каждому столбцу этих "промежуточных" исходных точек, чтобы получить (e+1)×(f+1) искомых контр. точек. В этом случае всего применяется m+f+2 аппроксимаций кривой.

Заметьте, в этом алгоритме не находится минимум функции f(), и поэтому он не является оптимальным, хоть и подходит для многих приложений.