Поиск Решения

Этот раздел будет немного непонятным и потребует некоторых знаний в линейной алгебре. Во-первых, давайте перепишем d_k - p(t_k) в другом виде:

Здесь d₀, d_k и d_n даны, а N_0,p(t_k) и N_h,p(t_k) можно найти вычислением N_0,p(u) и N_h,p(u) для t_k. Для удобства, определим новый вектор q_k:

Затем, функцию суммы квадратов f() можно переписать так:

Далее, определим, на что же похож квадрат расстояния погрешности Вспомним тождество x^.x = |x|². Это значит, что скалярное произведение вектора x на самого себя дает квадрат его длины. Таким образом, квадрат погрешности можно переписать как

Затем, функция f() становится

Как минимизировать эту функцию? Функция f() - это эллиптический параболоид для переменных p₁, ..., p_h-1. Таким образом, мы можем продифференцировать f() по каждому p_g и найти нули этих производных. Там, где производная равна нулю, функция достигает экстремума, в данном случае f() достигает минимума.

В вычислении производной по p_g, заметьте, что все q_k и N_i,p(t_k) - это константы (т.e. без участия p_k) и их частные производные по любой p_g должны быть равны нулю. Таким образом, имеем

Возьмем второй элемент из суммы, который является суммой значений N_i,p(t_k)p_i ^.q_k. Производная каждой из его составляющих вычисляется так:

Частная производная p_i по p_g не равна нулю только если i = g. Таким образом, частная производная второго члена суммирования равна:

Производная третьего члена уже сложнее; но все-таки не очень. Здесь испльзуется правило умножения (f^.g)' = f'^.g + f^.g'.

Так как частная производная p_i по p_g равна нулю, если i не равно g, то частная производная третьего члена суммирования по p_g равна:

Объединяя эти результаты, получаем, что частная производная f() по p_g равна

Приравнивая ее к нулю, получим:

Так как имеется h-1 переменных, то g изменяется от 1 до h-1 и всего h-1 таких уравнений. Заметьте, что эти уравнения являются линейными для неизвестных p_i. Перед тем, как продолжить, определим три матрицы:

Здесь k-й ряд P - это вектор p_k, k-й ряд Q - это правая сторона k-го уравнения, а k-й ряд N содержит значения вычислений N_1,p(u), N_2,p(u), ..., N_h-1,p(u) для t_k. Таким образом, если исходные точки - это s-мерные векторы, то P, N и Q - это матрицы размеров соответственно (h-1)×s, (n-1)×(h-1) и (h-1)×s.

Теперь перепишем g-е линейное уравнение

в другом виде, чтобы коэффициент при p_i легче читался:

Таким образом, коэффициент при p_i равен

Если взглянуть на матрицу N, то видно, что N_g,p(t₁), N_g,p(t₂), ..., N_g,p(t_n-1) - образуют g-й столбец N, а N_i,p(t₁), N_i,p(t₂), ..., N_i,p(t_n-1) - i-й столбец N. Заметьте, что g-й столбец N - это g-й ряд транспонированной матрицы N, N^T, а коэффициент p_i равен "скалярному" произведению g-го ряда N^T и i-го столбца N. Имея это ввиду, систему линейных уравнений можно переписать в таком виде

Так как N и Q известны, то решая эту систему линейных уравнений относительно P, получим искомые контр. точки.

Алгоритм

Хоть разработка предыдущего раздела была долгой и нудной, результат удивительно прост: решение системы линейных уравнений примерно как в глобальной интерполяции. В итоге алгоритм для глобальной аппроксимации также довольно простой.

Вход: n+1 исходных точек d₀, d₁, ..., d_n, степень p, и желаемое количество контр. точек h+1; Выход: Кривая B-spline степени p, определяемая h+1 контр. точками, которая аппроксимируется к исходным точкам; Алгоритм:

Получаем набор параметров t₀, ..., t_n и узловой вектор U; Принимаем p₀ = d₀, а p_h = d_n; for k := 1 to n-1 do

Вычисляем q_k по следующей формуле:

for i := 1 to h-1 do

Вычисляем следующее и записываем в i-й столбец матрицы Q;

/* матрица Q получена */ for k := 1 to n-1 do

for i := 1 to h-1 do

Вычисляем N_i,p(t_k) и записываем в ряд k и столбец i матрицы N;

/* матрица N получена */ Вычисляем M = N^T.N; Находим P из M^.P = Q; Ряд i матрицы P - это контр. точка p_i; Контр. точки p₀, ..., p_h, узловой вектор U и степень p определяют аппроксимирующую кривую B-spline;