Влияние Степени и Количества Контрольных Точек

Следующие рисунки показывают аппрокимирующие кривые с 10 исходными точками (n=9) для различных степеней и с разным количеством контр. точек. Для всех кривых параметры получены по центростремительному методу

	4 точки	5 точек	6 точек	6 (может, 7 ?) точек
степень 2
степень 3
степень 4
степень 5

Понятно, что малые степени не способны выдать хорошую аппроксимацию из-за того, что кривые меньших степеней являются менее гибкими. Видно, что чем больше степень, тем кривая ближе к исходной ломаной. Аналогично, чем больше контр. точек, тем более гибкая аппроксимированная кривая.

Нужно ли использовать высокие степени и много контр. точек? Ответ - нет, потому что цель использования аппроксимации в том, чтобы использовать меньше контр. точек, чем в глобальной интерполяции. Если количество контр. точек увеличить до числа исходных точек, то с тем же успехом можно использовать глобальную интерполяцию!

Почему Этот Метод Глобальный?

Этот метод аппроксимации является глобальным, потому что изменение положения одной исходной точки меняет форму кривой целиком.

Пару Слов О Решении (N^TN)^.P = Q

Эффективный способ решения (N^TN)^.P = Q - это так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция). И хотя есть другие хорошие методы, но этот пригодится в расчетах аппрокимации поверхностей.

Для простоты примем M = N^TN и система линейных уравнений станет M^.P = Q. Метод LU-разложения вначале "раскладывает" матрицу M на M = L^.U, где L и U это соответственно нижнетреугольная и верхнетреугольная матрицы. Говоря точнее, если M - это матрица размера n×n, то и L, и U также размера n×n следующего вида:

В нижнетреугольной матрице L нули во всех ячейках выше ее диагонали, а в верхнетреугольной U - ниже. Если LU-разложение M = L^.U найдено, то исходное уравнение становится (L^.U)^.P = Q. Это уравнение можно переписать как L^.(U^.P) = Q. Затем, так как L и Q известны, то, решая L^.x = Q, получим U^.P = x. Далее, раз U и x известны, то находим P из U^.P = x и получим искомый результат. В этом случае исходная задача нахождения P из M^.P = Q раскладывается на два шага:

1. Находим x из L^.x = Q

2. Находим P из U^.P = x

Сами по себе эти два шага очень просты. Возьмем первый шаг. Разворачивая L^.x = Q, имеем:

Это уранение равноценно следующему:

Сразу имеем значение x₁ = q₁/l₁₁. Подставляем его во второе уравнение, находим x₂ = (q₂ - l₁₁x₁)/l₂₂. И так далее, тут нефиг делать.

Возьмем второе векторное уравнение U^.P = x. Его матричная форма показана ниже:

Это уравнение равноценно следующему:

Здесь все наоборот - идем с конца, тут тоже все просто.