Два Важных Замечания
Так как Ni,1(u) вычисляется из Ni,0(u) и Ni+1,0(u), и так как Ni,0(u) и Ni+1,0(u) не равны нулю на интервале [ui, ui+1) и [ui+1, ui+2) соответственно, Ni,1(u) не равны нулю на двух этих интервалах. Другими словами, Ni,1(u) не равно нулю на [ui, ui+2). Аналогично, так как Ni,2(u) зависит от Ni,1(u) и Ni+1,1(u), и так как две эти базисные функции не равны нулю на [ui, ui+2) и [ui+1, ui+3) соответственно, Ni,2(u) не равно нулю на [ui, ui+3). В общем случае, чтобы определить ненулевую область базисной функции Ni,p(u), можно пройти обратно по треугольной схеме, пока не дойдем до первого столбца. Окруженные [?covered - закрытые?] интервалы являются ненулевой областью этой базисной функции. Например, допустим, нам нужно найти ненулевую область для N1,3(u). Основываясь на вышеизложенном, мы можем вернуться в направлениях влево вверх и влево вниз до первого столбца, как показано синей точечной линией на следующей диаграмме. Таким образом, N1,3(u) не равно нулю на [u1, u2), [u2, u3), [u3, u4) и [u4, u5). Или, что идентично, это не равно нулю на [u1, u5).
В итоге имеем следующее замечание:
Базисная функция Ni,p(u) не равна нулю на [ui, ui+p+1). Или, что идентично, Ni,p(u) не равно нулю на p+1 узловых промежутках [ui, ui+1), [ui+1, ui+2), ..., [ui+p, ui+p+1).
Далее мы рассмотрим обратное направление. Дан узловой интервал [ui, ui+1), нам нужно знать, для вычисления каких базисных функций он нужен. Мы можем начать с этого узлового интервала и провести стрелки в направлениях вверх-вправо и вниз-вправо. Все базисные функции, заключенные в этой клинообразной области, используют Ni,0(u) (почему?) и, следовательно, не равны нулю на этом интервале. Таким образом, все базисные функции степени p, ненулевые на [ui, ui+1), являются пересечением этого клина и столбца, содержащего все Ni,p(u). Фактически, этот столбец и две стрелки образуют равносторонний треугольник, у которого вертикальная сторона - это и есть этот столбец. Считая от Ni,0(u) до Ni,p(u) получим p+1 столбцов. Таким образом, вертикальная сторона равностороннего треугольника должна иметь максимум p+1 элементов, а именно Ni,p(u), Ni-1,p(u), Ni-2,p(u), ..., Ni-p+2,p(u), Ni-p+1,p(u) и Ni-p,p(u).
Взгляните на диаграмму выше. Чтобы найти базисные функции 3 степени, которые не равны нулю на [u4, u5), проведем две стрелки и получим на вертикальных сторонах искомое. В этом случае это N1,3(u), N2,3(u), N3,3(u), и N4,3(u). Это показано оранжевым треугольником Синий (соотв., красный) треугольник показывает базисные функции 3 степени, являющиеся ненулевыми на [u3, u4) (соотв., на [u2, u3) ). Заметьте, здесь только три базисных многочлена третьей степени, не равных нулю на [u2, u3).
В итоге мы рассмотрели следующее свойство.
На любом узловом интервале [ui, ui+1), самое большее p+1 базисных функций p степени не равны нулю, а именно: Ni-p,p(u), Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., Ni-1,p(u) и Ni,p(u),
Какое Значение Имеют Коэффициенты?
Наконец, давайте рассмотрим значение коэффициентов в определении Ni,p(u). Когда Ni,p(u) будет подсчитано, пригодятся Ni,p-1(u) и Ni+1,p-1(u). Последнее не равно нулю на [ui, ui+p). Если u находится в полуоткрытом интервале, то u - ui - это расстояние между u и левым краем этого интервала, длина интервала равна ui+p - ui, и (u - ui) / (ui+p - ui) - это отношение вышеуказанных расстояний и всегда в пределах от 0 до 1. Посмотрите на диаграмму ниже. Второй член, Ni,p-1(u), не равен нулю на [ui+1, ui+p+1). Если u находится в этом интервале, то ui+p+1 - u - это расстояние от u до правого края этого интервала, ui+p+1 - ui+1 - это длина интервала, а (ui+p+1 - u) / (ui+p+1 - ui+1)- это отношение этих двух расстояний и его значение в пределах от 0 до 1. Таким образом, Ni,p(u) - это линейная комбинация Ni,p-1(u) и Ni+1,p-1(u) с двумя коэффициентами, оба которых являются линейно зависящими от u, в пределах от 0 до 1.
