Кривые Безье Касательны к их Первому и Последнему Сегменту.

Принимая u = 0 и u = 1, имеем p'(0) = n(p₁ - p₀) и p'(1) = n(p_n - p_n-1) В превом случае получается, что касательный вектор в точке u = 0 направлен по вектору p₁ - p₀, умноженному на n. Таким образом, первый сегмент в указанном направлении касателен кривой Безье. Во втором случае - касательный вектор в точке u = 1 направлен по вектору p_n - p_n-1, умноженному n. То есть, и последний сегмент касателен кривой. Вот рисунки, хорошо это поясняющие.

Объединение Двух Кривых Безье с соблюдением c1-Непрерывности

Раз уж кривая Безье касательна своим крайним сегментам, почему бы не объединить две в одну? - спросите вы. Я отвечу - запросто. Ну, может, и не очень запросто, но можно. Пусть первая кривая описывается m + 1 контрольными точками p₀, p₁, p₂, ..., p_m, и поэтому ее степень равна m. Пусть вторая кривая описывается n + 1 контрольными точками q₀, q₁, q₂, ..., q_n, и поэтому ее степень равна n. Если мы хотим объединить эти две кривые в одну, p_m должно быть равно q₀. Это гарантирует объединению непрерывность C⁰. И первая, и вторая кривые касательны крайним сегментам. Следовательно, чтобы получить гладкий переход, p_m-1, p_m = q₀ и q₁ должны лежать на одной прямой, на которой направления от p_m-1 к p_m и от q₀ к q₁ совпадают. Это показано ниже.

Хотя объединение двух кривых Безье таким способом выглядит гладким, оно все-таки является лишь C⁰-непрерывным, но не C¹. Тем не менее, оно является G¹-непрерывным, потому что направления касательных веткоров одинаковы и, значит, у них общая касательная. Чтобы получить непрерывность C¹, нам нужно убедиться, что касательный вектор при u = 1 на первой кривой, p'(1), и касательный вектор вектор при u = 0 на второй кривой, совпадают. То есть, должно выполняться следующее:

m(p_m - p_m-1) = n(q₁ - q₀)

Это соотношение означает, что для того, чтобы получить непрерывность C¹ в точке перехода, нужно, чтобы отношение длин последнего сегмента первой кривой (т.e. |p_m - p_m-1|) и первого сегмента второй кривой (т.e. |q₁ - q₀|) должно быть равно n/m. Так как степени m и n фиксированы, можно переместить p_m-1 или q₁ в такое положение, чтобы вышеуказанное соотношение выполнялось.

На следующем рисунке слева изображены две кривые Безье - 4-й степени (слева) и 5-й степени (справа). Так как последний сегмент первой кривой и первый сегмент второй кривой не лежат на одной прямой, кривые соединяются не гладко. На рисунке справа кривые 4-й и 7-й степени в месте соединяются сегментами, лежащими на одной прямой. Тем не менее, они не являются C¹-непрерывными. Кривая слева - 4-й степени, а справа - 7-й. Но отношение их смежных сегментов близко к единице, а не к 7/4=1.75. Чтобы получить непрерывность C¹, нужно увеличить длину последнего сегмента первой кривой, или, соответственно, уменьшить длину первого сегмента второй кривой. Как бы то ни было, соединение уже является G¹-непрерывным.

Есть еще одно интересное применение этого свойства. Если взять совпадающие первую и последнюю контрольные точки, (т.e. p₀ = p_n), а p₁, p₀ и p_n-1 лежащими на одной прямой, полученная кривая Безье будет замкнутой и G¹-непрерывной в точке соединения, как показано на рисунке ниже:

Заметьте, что, хотя вышеуказанная кривая и похожа на эллипс, эллипсом она не является, потому что эта кривая - 6 степени, а кривые Безье - это полиномы, которыми нельзя описать окружности и эллипсы.