Примеры Вычислений

Два примера, один с простыми узлами, другой с множественными, будут довольно подробно рассмотрены на этой странице.

Простые Узлы

Допустим, узловой вектор равен U = { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 }. Отсюда, m = 4 и u₀ = 0, u₁ = 0.25, u₂ = 0.5, u₃ = 0.75 и u₄ = 1. Базисные функции 0 степени простые. Таких функций четыре: N_0,0(u), N_1,0(u), N_2,0(u) и N_3,0(u), определенные на узловых интервалах [0,0.25,), [0.25,0.5), [0.5,0.75) и [0.75,1), соответственно, как показано ниже.

Следующая таблица дает результат всех N_i,1(u):

Базисная Функция	Границы	Уравнение
N0,1(u)	[0, 0.25)	4u
	[0.25, 0.5)	2(1 - 2u)
N1,1(u)	[0.25, 0.5)	4u - 1
	[0.5, 0.75)	3 - u
N2,1(u)	[0.5, 0.75)	2(2u - 1)
	[0.75, 1)	4(1 - u)

Вот графики этих базисных функций.

Из функций N_i,1(u), можно вычислить базисные функции второй степени. Так как m = 4, p = 2, а m = n + p + 1, то n = 1 и есть всего две базисные функции второй степени N_0,2(u) и N_1,2(u). Следующая таблица - это результат:

Базисная Функция	Границы	Уравнение
N0,2(u)	[0, 0.25)	8u2
	[0.25, 0.5)	-1.5 + 12u - 16 u2
	[0.5, 0.75)	4.5 - 12u + 8 u2
N1,2(u)	[0.25, 0.5)	0.5 - 4u + 8u2
	[0.5, 0.75)	-1.5 + 8u - 8u2
	[0.75, 1)	8(1 - u)2

Следующий рисунок показывает две базисные функции. Три вертикальные синие линии указывают положения узлов. Заметьте, что каждая базисная функция является составной кривой, состоящей из трех отрезков кривых 2 степени. Например, N_0,2(u) это зеленая линия, являющаяся объединением трех парабол, построенных на отрезках [0,0.25), [0.25, 0.5) и [0.5,0.75). Три этих отрезка кривых объединяются вместе, образуя форму колокола. Как упоминалось на предыдущей странице, в узлах сложная кривая является C¹-непрерывной.

Множественные Узлы

Если узловой вектор содержит множественные узлы, мы сталкиваемся с ситуацией 0/0, как будет видно позже. Таким образом, принимаем 0/0 равным 0. К счастью, это только для вычислений вручную. Для компьютерного представления существует эффективный алгоритм без такой проблемы. Кроме того, если u_i - узел множественности k (т.e., u_i = u_i+1 = ... = u_i+k-1), то узловые интервалы [u_i,u_i+1), [u_i+1,u_i+2), ..., [u_i+k-2,u_i+k-1) не существуют, и в итоге N_i,0(u), N_i+1,0(u), ..., N_i+k-1,0(u) являются нулевыми функциями.

Возьмем узловой вектор U = { 0, 0, 0, 0.3, 0.5, 0.5, 0.6, 1, 1, 1 }. Таким образом, 0 и 1 множественности 3 (т.e., 0(3) и 1(3) ), а 0.5 множественности 2 (т.e., 0.5(2) ). Отсюда, m = 9 и значения узлов таковы:

u0	u1	u2	u3	u4	u5	u6	u7	u8	u9
0	0	0	0.3	0.5	0.5	0.6	1	1	1

Вычислим N_i,0(u). Заметьте, так как m = 9, а p = 0 (базисные функции 0 степени), получаем n = m - p - 1 = 8. Как видно из таблицы ниже, есть только четыре ненулевых базисных функции: N_2,0(u), N_3,0(u), N_5,0(u) и N_6,0(u).

Базисная Функция	Границы	Уравнение	Комментарии
N0,0(u)	все u	0	так как [u0, u1) = [0,0) не существует
N1,0(u)	все u	0	так как [u1, u2) = [0,0) не существует
N2,0(u)	[0, 0.3)	1
N3,0(u)	[0.3, 0.5)	1
N4,0(u)	все u	0	так как [u4, u5) = [0.5,0.5) не существует
N5,0(u)	[0.5, 0.6)	1
N6,0(u)	[0.6, 1)	1
N7,0(u)	все u	0	так как [u7, u8) = [1,1) не существует
N8,0(u)	все u	0	так как [u8, u9) = [1,1) не существует

Теперь перейдем к базисным функциям степени 1. Так как p равно 1, то n = m - p - 1 = 7. Следующая таблица показывает результат:

Базисная Функция	Границы	Уравнение
N0,1(u)	все u	0
N1,1(u)	[0, 0.3)	1 - (10/3)u
N2,1(u)	[0, 0.3)	(10/3)u
	[0.3, 0.5)	2.5(1 - 2u)
N3,1(u)	[0.3, 0.5)	5u - 1.5
N4,1(u)	[0.5, 0.6)	6 - 10u
N5,1(u)	[0.5, 0.6)	10u - 5
	[0.6, 1)	2.5(1 - u)
N6,1(u)	[0.6, 1)	2.5u - 1.5
N7,1(u)	все u	0

Следующий рисунок показывает графики этих базисных функций.

Рассмотрим конкретные вычисления, скажем, N_1,1(u). Это рассчитывается по следующему выражению:

N_1,1(u) = (u - u₁) / (u₂ - u₁) N_1,0(u) + (u₃ - u) / (u₃ - u₂) N_2,0(u)

Подставляя u₁ = u₂ = 0 и u₃ = 0.3 в это уравнение, получим:

N_1,1(u) = (u/0) N_1,0(u) + (1 - (10/3)u) N_2,0(u)

Так как N_1,0(u) везде равно нулю, первый член становится равным 0/0 и поэтому, как мы приняли, равен нулю. Таким образом, только второй член влияет на результат. Так как N_2,0(u) равно 1 на [0,0.3), N_1,1(u) равно 1 - (10/3)u на [0,0.3).

Далее, вычислим все N_i,2(u). Так как p = 2, имеем n = m - p - 1 = 6. Следующая таблица содержит все N_i,2(u):

Базисная Функция	Границы	Уравнение
N0,2(u)	[0, 0.3)	(1 - (10/3)u)2
N1,2(u)	[0, 0.3)	(20/3)(u - (8/3)u2)
	[0.3, 0.5)	2.5(1 - 2u)2
N2,2(u)	[0, 0.3)	(20/3)u2
	[0.3, 0.5)	-3.75 + 25u - 35u2
N3,2(u)	[0.3, 0.5)	(5u - 1.5)2
	[0.5, 0.6)	(6 - 10u)2
N4,2(u)	[0.5, 0.6)	20(-2 + 7u - 6u2)
	[0.6, 1)	5(1 - u)2
N5,2(u)	[0.5, 0.6)	12.5(2u - 1)2
	[0.6, 1)	2.5(-4 + 11.5u - 7.5u2)
N6,2(u)	[0.6, 1)	2.5(9 - 30u + 25u2)

Следующий рисунок показывает все базисные функции степени 2.

Возьмем следующие типичные вычисления в качестве примера, скажем, N_3,2(u). Выражение для расчета такое:

N_3,2(u) = (u - u₃) / (u₅ - u₃) N_3,1(u) + (u₆ - u) / (u₆ - u₄) N_4,1(u)

Подставляя в u₃ = 0.3, u₄ = u₅ = 0.5 и u₆ = 0.6, имеем

N_3,2(u) = (5u - 1.5) N_3,1(u) + (6 - 10u) N_4,1(u)

Так как N_3,1(u) не равно нулю на [0.3, 0.5) и равно 5u - 1.5, то первый член, (5u - 1.5)², является ненулевой частью N_3,2(u) на [0.3, 0.5). Так как N_4,1(u) не равно нулю на [0.5, 0.6) и равно 6 - 10u, то второй член, (6 - 10u)², является ненулевой частью N_3,2(u) на [0.5, 0.6).

Давайте исследуем непрерывность в узле 0.5(2). Так как его множественность равна 2, а степень этих базисных функций равна 2, базисная функция N_3,2(u) является C⁰-непрерывной в 0.5(2). Вот почему N_3,2(u) имеет острый угол в 0.5(2). Для узлов не на концах, скажем, в 0.3, C¹-непрерывность выдерживается, так как все они являются простыми.