Получение Узлового Вектора
Когда получен набор параметров, можно найти узловой вектор. Пусть мы получили n+1 параметров t0, t1, ..., tn и степень p. Для кривой B-spline степени p, нам нужно m+1 узлов, где m=n+p+1. Если кривая фиксирована, то эти узлы равны u0 = u1 = .... = up = 0, up+1, ..., um-p-1, um-p = um-p+1 = ... = um = 1. Говоря точнее, первые p+1 и последние p+1 узлов равны 0 и 1, соответственно. Для оставшихся n-p узлов, их можно равномерно распределить или выбрать по каким-то другим соображениям.
Пусть оставшиеся n-p внутренних узлов равномерно будут распределены. Затем, up = 0, up+1, ..., um-p-1, um-p = 1 делят [0,1] на n-p+1 подинтервалов. Таким образом, узлы равны
Например, если есть 6 (n = 5) параметров, а степень равна p = 3, то нужно найти (n+p+1)+1 = (5+3+1)+1 = 10 узлов (т.e. m=9). Так как у нас фиксированная кривая, то первые и последние четыре (т.e. p+1) узлов должны быть равны 0 и 1, соответственно. Говоря точнее, имеем 0, 0, 0, 0, u4, u5, 1, 1, 1 и 1, а два внутренних узла делят [0,1] на три подинтервала, каждый из которых имеет длину, равную 1/3. Отсюда, узловой вектор равен { 0, 0, 0, 0, 1/3, 2/3, 1, 1, 1, 1}.
Равномерно распределенный узловой вектор не требует знания параметров и очень прост в нахождении. Тем не менее, этот метод не рекомендуется использовать, из-за того, что если он используется с методом длины хорды для глобальной интерполяции, то система линейных уравнений будет исключительной [?singular]
Другой известный метод получения узлового вектора, предложенный de Boor, состоит в "усреднении" параметров. Вот формула вычислений:
Таким образом, первый внутренний узел - это среднее из p параметров t1, t2, ..., tp; второй внутр. узел - среднее следующих p параметров, t2, t3, ..., tp+1. Пусть 6 (n = 5) параметров равны
t0 |
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
0 |
1/4 |
1/3 |
2/3 |
3/4 |
1 |
Нам нужно получить вектор для степени p = 3. Как упоминалось раньше, нужны 10 узлов (m = 9). Из этих десяти, первые четыре и последние четыре узла равны 0 и 1, соответственно. Таким образом, первый внутр. узел - это среднее из параметров 1/4, 1/3 и 2/3, а второй внутр. узел - это среднее следующих трех параметров 1/3, 2/3 и 3/4. Вычисленный узловой вектор равен
u0 = u1 = u2 = u3 |
u4 |
u5 |
u6 = u7 = u8 = u9 |
0 |
(1/4+ 1/3 + 2/3)/3 = 5/12 |
(1/3 + 2/3 + 3/4)/3 = 7/12 |
1 |
Следующая схема показывает положения параметров и полученных узлов. Заметьте, что 0(4) и 1(4) значит, что 0 и 1 - это четверные узлы (т.e. множественности = 4). Как вы видите, первый ненулевой узловой интервал [0,5/12) содержит два параметра, второй ненулевой интервал [5/12,7/12) не содержит параметров, а третий интервал [7/12,1) - два параметра.
