Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

29

1. 

   Дуга АС меньше полуокружности, следовательно, ZAOC = = ~иАС.

2. Угол ЛОС — внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, значит, Z АОС = Z 1 + Z 2.

1. Так как углы при основании равнобедренного треугольника АОВ

равны, то ∠ 1 = ∠ 2

4) Та к как ∠ ABC = ∠ 2

=А АОС.

2

1

Z АОС и Z АОС = yjAC, то Z Л£>С

2

=kjAC.

2

Второй случай. Луч 50 делит угол Л£>С на два угла.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО и дуги АС (рис. 24). Тогда согласно до­казанному в первом случае Z ABD = yjAD

1 2

и Z L>#C = •ииС. 2

= ¹ ∪AD + ¹ ∪DC. 22

= ¹ ∪AC .

2

2) Сложим эти равенства почленно: ∠ ABD + ∠ DBC

Рис. 24

Таким образом, ∠ ABC

Третий случай. Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

1) Пусть D — точка пересечения луча BO с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае

ZABD

vjAD и Z СМ)

1 = yjCD.

2

1

2) Вычтем почленно из первого равен­ства второе:

Рис. 25

Z ЛМ) — Z CBD = — kjAD — — kjCD.

2

2

1

1

Так как Z ABD — Z CM) = Z Л5С и — kjAD

uCD

= —yjAC,

2

2

2

то ∠ ABC

1

= — yjAC.

2

Теорема доказана.

Из данной теоремы получаем следующие следствия.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а).

Скачено с Образовательного

а)

в)

б) Рис. 26

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокруж­ность, прямой (рис. 26, б).

Рассмотрим пример. Пусть хорда АВ соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности со (О; R). Тогда каждый из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB равен 30° (рис. 26, в). Действительно, цент­ральный угол АОВ равен 60°, значит, yjAB = 60°. Каждый из указанных

углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого

1 „°

из них равна yjAB = 3U .

2

Теорема 2 (об угле между хордой и касательной). Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна по­ловине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.

Дано: со (О; R), AF — касательная, АВ — хорда. Доказать:

Z FAB = —kjAB.

2

а) б)

Рис. 27 Доказательство.

Первый случай. Пусть FAB — острый угол (рис. 27, а). 1) Проведем диаметр АС. Тогда вписанный угол СВА опирает­ся на полуокружность, значит, по следствию 2 он равен 90°, т. е. Z СВА = 90°.

портала www.adu.by

30

Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

31

2) Треугольник СВА — прямоугольный, следовательно, ZACB = = 90° — Z 1.

3) Так как диаметр АС перпендикулярен касательной FA, то Z FAB = 90° — Z 1. Таким образом, Z FAB = Z АСВ. Так как угол АСВ

опирается на дугу АВ, которая лежит внутри него, то Z АСВ = yjAB.

гаг 1 2

Следовательно, Z гАВ = — kjAB.

2 Второй случай. Пусть Z /ЙВ — тупой (рис. 27, б), АС — диа­метр. Тогда Z FAB = Z БЛС + Z СЛ/⁷ = — kjBC + — kjAC = — (*иВС +

, 2 2 2

+ LJC/1) = — yjBCА, но дуга сиЛ лежит внутри тупого угла гАВ.

2

Теорема доказана.