Глава 3

Длина окружности и площадь круга

127

3. Площадь сегмента. Рассмотрим формулу для нахождения пло­щади фигуры, которая называется сегментом.

О п р е д е л е н и е. Сегментом называется часть круга, ограни­ченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги.

Дуга окружности, ограничивающая сегмент, называется дугой сегмента, а ограничивающая его хорда называется основанием сегмента.

На рисунке 102, а изображены два сегмента, ограниченные хордой AB и дугами AFB и ATB. Хорда AB является основанием для каждого из этих сегментов.

На рисунке 102, б изображены сегменты, ограниченные стороной CD вписанного квадрата и соответствующими дугами окружности.

б)

а)

Рис. 102

Зная формулу, по которой вычисляется площадь сектора, нетрудно вывести формулу для вычисления площади сегмента. Рассмотрим два случая: 1) дуга сегмента меньше 180°; 2) дуга сегмента больше 180°.

1) Пусть дуга AnB сегмента имеет градусную меру α, меньшую 180° (рис.103, а). Тогда площадь этого сегмента равна разности площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами OA , OB, и площади

Sao b .

a

треугольника AO B , т. е. S_сегм

360°

2) Пусть дуга AmB имеет градусную меру а, большую 180° (рис. 103, б). Тогда площадь этого сегмента равна сумме площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами ОА, ОВ, и площади

треугольника AUB, т. е. Ь_сегм = ° • a + Ь_юв.

Заметим, что площадь сегмента, градусная мера дуги которого а больше 180°, можно найти также как разность между площадью круга и площадью сегмента с тем же основанием и дугой, градусная мера которой равна 360° — а.

Скачено с Образовательного

а)

в)

б) Рис. 103

Пусть ABC — равносторонний треугольник, вписанный в круг радиуса R, а точка О — его центр. Тогда площадь меньшего сегмен­та, основанием которого служит сторона АВ треугольника, равна

т^т_° • lzU — Ьдпп= ^г ^д sinlzU =z (рис. lUo, в).

obU 6 2 о 4

Задача 1. Диагональ BD равнобедренной трапеции ABCD перпен­дикулярна боковой стороне, а площадь круга, вписанного в треуголь­ник ABD, равна 4% см². Вычислите длину окружности, описанной около трапеции, если площадь треугольника ABD равна 24 см² (рис. 104).

Решение.

Для нахождения длины окружности, описанной около трапеции ABCD, необ­ходимо найти радиус R, так как длина С окружности находится по формуле С = 2%R. По условию задачи окружность, описанная около трапеции, описана око­ло прямоугольного треугольника ABD.

Рис. 104

Следовательно, основание AD тра­пеции является диаметром окружнос-

ти, значит, R =. 2

1) Пусть г — радиус круга, вписанного в треугольник ABD. Так

как площадь этого круга равна 4% см², то из уравнения кі² = 4% на­ходим, что г = 2 см.

2) Площадь S_ABD прямоугольного треугольника ABD можем найти по формуле S_ABD = гр, где г — радиус вписанного круга, р — полу­ периметр треугольника ABD. По условию задачи S_ABD = 24 см², сле­ довательно, из уравнения 24 = 2р находим р = 12 см.

портала www.adu.by

128