Глава 4
Задачи для повторения
151
в точке F так, что CF : FA = 1 : 3, и расстояние от точки Г до прямой АС равно 3 см.
10. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Окружность, построенная на отрезке АО как на диаметре, пересекает сторону в точке F, которая делит ее в отношении 1 : 3. Вычислите градусные меры углов ромба.
11. Окружность, проходящая через вершины тупых и одного из острых углов ромба, пересекает большую диагональ в точке К, ко-
7
торая делит эту диагональ на части 5 см и — см. Вычислите длину стороны ромба.
На основании АВ равнобедренного треугольника АСВ как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону СВ в точке F так, что CF : FB = 3 : 1. Вычислите расстояние от точки F до прямой АВ, если АВ = 24 см.
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке С. Радиусы окружностей равны 2 см и 7 см. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку С, пересекается с другой общей касательной в точке D. Вычислите расстояние от центра меньшей окружности до точки D.
Хорды СА и СВ окружности имеют длины 3 см и 4 см соответственно, а диаметр CD параллелен хорде АВ. Вычислите длины отрезков, на которые делится диаметр CD проведенным к нему перпендикуляром AF.
В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояния от центра окружности до концов наклонной боковой стороны равны а и Ь. Найдите сумму оснований трапеции.
Окружность, вписанная в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, касается боковых сторон АВ и CD в точках F и Т соответственно. Докажите, что AF ■ FB = СТ ■ TD.
17. Прямая / пересекает окружность в точках А и В, а прямая AF касается окружности в точке А. Вычислите расстояние от точки С, диаметрально противолежащей точке В, до точки касания, если длина хорды АВ равна 5 см, а угол между прямой / и касательной AF равен 30°.
Скачено с Образовательного
Дано:
AF — касательная, Z BAF = 30°, АВ = 5 см. Найти: АС.
а) б)
Рис. 115 Решение.
В силу теоремы об угле между хордой и касательной Z АСВ = = Z BAF = 30°. Кроме того, так как точки С и В диаметрально противолежащие, то угол CAB опирается на диаметр, а следовательно, он равен 90°, т е. треугольник CAB — прямоугольный (рис. 115, а, б).
Расстояние от точки С до точки касания А равно катету СА треугольника CAB. Так как катет АВ, лежащий против угла в 30° этого треугольника, равен 5 см, то СВ = 2АВ= 10 см. Тогда катет СА =
= уІСВ2 -АВ2 = V100-25 = 5v3 (см). Ответ: 5л/3 см.
Отрезок ВС — диаметр окружности, точка А расположена на окружности так, что длина отрезка В А равна 2 см, а площадь треугольника ABC равна 2v3 см2. Вычислите градусную меру угла между прямой АВ и касательной к окружности в точке А.
Касательные 11 и /2 к окружности радиуса R проходят соответственно через концы А и В ее диаметра. Третья касательная к окружности пересекает касательные 11 и /2 соответственно в точках F и Т. Докажите, что AF ■ BT = R2.
Около трапеции ABCD с основаниями ВС и AD описана окружность, диаметром которой является основание AD. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ равна а, а радиус окружности равен R.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Вычислите длины катетов треугольника.
портала www.adu.by
152