12 Глава 1

2) В равнобедренном треугольнике ABC отрезок AF — медиа­на, проведенная к его основанию. Следовательно, AF LBC. Таким образом, по признаку касательной прямая ВС касается окружности ю (Л; AF). Что и требовалось доказать.

Задача 3. Точка А лежит вне окружности со (О; R). Постройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку Л. Поиск решения.

1) Пусть прямая I, проходящая через точку А, касает­ ся окружности со (О; R) в точке В. Тогда по свойству каса­ тельной OB LAB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку В на окружности со (О; R) так, что OB LAB.

2) Рассмотрим окружность <а_х, диаметром которой является отрезок АО, т. е. (а₁ (0_{; 0_{А), где 0_{ є ОА и 00_х = О_хА. Пусть В и С — точки пересечения окружностей со (О; R) и а₁ (0_{; 0_{А) (рис. 9, б). Заметим, что Zl=Z 2 и Z3 = Z 4 как углы при ос­ новании равнобедренных треугольников ВО_хО и ВО_хА. Так как Z 1 +Z2 + Z3 + Z4 = 180°, то Z 1 +Z3 = Z2 + Z4 = 90°. Значит, Z ОБА = 90°, т. е. OB LAB. Аналогично доказывается, что ОС .LAC. По признаку касательной к окружности отсюда следу­ ет, что прямые АВ и АС являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений.

а) б)

Рис. 9

Построение.

1. Проводим отрезок ОА, соединяющий центр данной окруж­ности и точку Л (рис. 10, а).

2. Строим середину 0₁ отрезка ОА. Точка O_l = FE П АО, F и E —

Скачено с Образова

Вписанные и описанные многоугольники 13

точки пересечения окружностей со₂ (0; г) и ю₃ (/4; г), где г> —ОА

n 2

(рис. 1U, б).

а) б) в)

Рис. 10

3. Строим окружность со₁ {0{, О_хА) (рис. 10, в).

3. Через точку Л и точки пересечения 5 и Сданной и построенной окружностей проводим прямые АВ и АС. Прямые АВ и АС — искомые касательные к данной окружности.

Доказательство. По построению Z ОБА = 90° и Z ОСА = 90°, так как каждый из этих углов опирается на диаметр, т. е. АВ J_ ОБ и AC J_ ОС. Следовательно, по признаку касательной АВ и АС — касательные.

3. Взаимное расположение двух окружностей. Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей:

портала www.adu.by

а) б)

Рис. 11

1. окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11, а ));

2. окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б));

14 Глава 1

3. окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что окружности касаются внутренним образом (рис. 12, а ));

4. окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом (рис. 12, б)).

а) б)

Рис. 12

Теорема 1 (свойство окружностей, касающихся внешним образом). Если две окружности ω₁ (O₁; R₁) и ω₂ (O₂; R₂) касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е. O₁O₂ = R₁ + R₂.

а) б)

Рис. 13

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть окружности ω₁ (O₁; R₁) и ω₂ (O₂; R₂) касаются внешним образом в точке A (рис. 13, а).

2. Докажем, что точка A лежит на отрезке O₁O₂. Допустим, что точка A не лежит на отрезке O₁O₂. Понятно, что в случае внешнего

Скачено с Образовательного

Вписанные и описанные многоугольники 15

касания точка Л не может лежать на продолжении отрезка О_х0₂. Пусть точка касания Л не лежит на прямой О_х0₂ (рис. 13, б). Тогда О_хА = Я_л и 0₂А = R₂.

3. Пусть точка F симметрична точке Л относительно прямой О_х0₂. Тогда O_lF = O_lA = R_l и 0₂F =0₂A = R₂, а, значит, точка F принадле­жит каждой окружности. Таким образом, окружности со₁ {О_х; /?,) и ю₂ (0₂; R₂) имеют две общие точки Ли/⁷, что противоречит ус­ловию их касания. Следовательно, точка касания Л лежит на отрезке О_х0₂.

4. Докажем, что О_х0₂ = R_l + R₂. Точка Л лежит на отрезке О_х0₂, значит, О_х0₂ = О_хА + А0₂ = R_l + R₂. Теорема доказана.

Справедливо обратное утверждение.

Теорема 2 (условие касания окружностей внешним образом). Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом.

Доказательство.

1. Пусть даны две окружности со₁ (0{, R_x) и со₂ (0₂, R₂) и извест­но, что O_l0₂ = R_l + R₂. Докажем, что окружности касаются внешним образом.

2. На отрезке О_х0₂ рассмотрим точку Л такую, что О_хА = R_X. Тогда А0₂ = О_х0₂ — О_хА = (R_l + R₂) — R_l= R₂. Таким образом, точка Л при­надлежит каждой из данных окружностей.

3. Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой О_х0₂ таких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой О_х0₂, принадлежащая каждой окружности. Тогда O_lX = R_l и 0₂X = R₂. В треугольнике О_х0₂Х сторона О_х0₂ равна сумме сторон О_хХ и 0₂Х, что невозможно.

4. Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностям со ₁ {О_х; R_l) и&₂ (0₂, R₂), приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки Л, не существует, т. е. окружности касаются.

5. Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружности со₂ (0₂; R₂) выполняется условие O_xF ^\p_x0₂ —0₂F\ = \R_X +R₂ —R₂\ = R\- Таким образом, либо точка F лежит вне окружности со₁ (0{, R_x), когда O_xF > R_u либо принадлежит обеим окружностям, если O_lF = R_l. Но в этом случае точка F есть точка Л касания окружностей. Следовательно, окружность со₂ (0₂; R₂) распо­ложена вне части плоскости, ограниченной окружностью co_l (0{, R_x).

портала www.adu.by

16