Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

71

а)

б)

Рис. 64

40. Докажите, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, в ко­ торую можно вписать окружность, равен произведению длин оснований трапеции: /г² = ab, где а и b — длины оснований трапеции (рис. 64, б).

II

41. Сумма двух противолежащих сторон описанного четырех­угольника равна а, а радиус вписанной окружности равен Ь. Найдите площадь четырехугольника.

42. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании 120°.

43. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки р и q. Найдите площадь трапеции.

44. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки а, Ь. Докажите, что радиус вписанной окружности r = ~Jab.

45. Прямоугольник, длины сторон которого равны 6 см и 8 см, разделен диагональю на два треугольника. В каждый из этих треуголь­ников вписана окружность. Вычислите расстояние между центрами окружностей.

46. Стороны АВ и ВС прямоугольника равны 12 см и 6 см соот­ветственно. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, каса­ются диагонали АС в точках К и Т. Вычислите расстояние между точ­ками К и Т.

Скачено с Образовательного

47. В ромб вписана окружность радиуса г. Найдите площадь ромба, если его большая диагональ в четыре раза больше радиуса вписанной окружности.

48. В ромб с острым углом 60° вписана окружность. Расстояние между точками касания смежных сторон и окружности равно 2а. Найдите площадь ромба.

49. В квадрат вписана окружность. Другая окружность касается двух сторон квадрата, а также касается внешним образом вписанной в него окружности. Найдите радиус меньшей окружности, если сторона квадрата равна а.

50. Длины боковых сторон трапеции равны 3 см и 5 см. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Вычислите длины оснований трапеции.

51. Вычислите площадь трапеции по разности длин оснований, равной 14 см, и длинам непараллельных сторон, равных 13 см и 15 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

52. Около окружности описана трапеция, длины боковых сторон которой равны 13 см и 15 см, а площадь равна 168 см². Вычислите длины оснований трапеции.

53. Около окружности описана равнобедренная трапеция, длина средней линии которой равна 5 см, а синус острого угла при основании 0,8. Вычислите площадь трапеции.

54. Высоты BF и СТ остроугольного треугольника ABC пересека­ются в точке S. Верно ли, что около четырехугольника ATSF можно описать окружность?

55. В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота Л/⁷ к бо­ковой стороне ВС и медиана ВТ к основанию АС, О = ВТ П AF. Докажи­те, что около четырехугольника TOFC можно описать окружность.

56. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АЕ и СК Вычислите радиус окружности, описанной около четырехуголь­ника АКЕС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15 см, периметр треугольника ВЕК равен 9 см, а радиус окруж­ности, описанной около треугольника ВЕК, равен 1,8 см.

портала www.adu.by

72