Глава 3

Длина окружности и площадь круга

117

(OE _L ET как радиус, проведенный в точку касания, ОТ — биссектриса угла ЕТК).

3) В прямоугольном треугольнике ТЕО катет OE = £Ttg30°.

2-JE

1 Т^гр

= —г 1

2

Та к как OE = r и ET

то Г =

\3 4 4 3 12

Заметим, что радиус г можно найти и другим способом: восполь­зовавшись тем, что треугольник ЕТК подобен треугольнику ABC с

коэффициентом подобия —.

а-у/З 12

ГС-у/З

2

2%

Таким образом, длина окружности С

6

О т в е т:

6

В	^-^	с
	ШШш
А		D

Задача 2. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямая четырехугольная призма, основаниями которой служат квадраты. Вычислите длину окружнос­ти, описанной около боковой грани призмы, если длина окружности, описанной около основания призмы, равна 8π см, а боковое ребро в два раза больше стороны основания призмы.

у:Щ0Ч^			<Й ■
^і	Чй^и			■
^-:		<^ 1
ш	^ *			с- '
/у.: D:-...			.'••\v--.v:.-: I

а)

в)

б) Рис. 96

Р е ш е н и е.

Длина C окружности находится по формуле C = 2πR. Данная призма является прямой призмой, основаниями которой служат квадраты, следовательно, все боковые грани являются равными между собой прямоугольниками. Диагональ грани DD₁CC₁ равна диаметру описанной около него окружности, т. е. D₁C = 2R (рис. 96, а, б, в).

1) Пусть DC = x, тогда по условию DD₁ = 2x. В прямоугольном

уі&>

DD, +DC

треугольнике D_XDC гипотенуза D_XC = \],

х\/5. Таким образом, 2R = x*j5. Теперь необходимо найти х.

Скачено с Образовательного

2. По условию длина окружности, описанной около квадра­та ABCD, равна 8% см. Ее диаметр 2R_l равен диагонали АС, т. е. 2R_{ =АС= хл/2. Следовательно, из уравнения %х у/2 = 8п находим, что х =

3. Так как 2R = хыЪ и х = 4V2 , то 2R = 4V2 • v5 = 4vl0 (см). Теперь находим С = 2%R = ж ■ Wl0 = 4тгл/ЇЇЇ (см).

Ответ: 4тт-\/і0 см.

Задачи к § 2

I

1. Площадь квадрата равна 9 см². Вычислите длину окружности, описанной около этого квадрата.

2. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 16л см. Вычислите периметр квадрата.

3. Периметр квадрата равен 12 см. Вычислите длину окружнос­ти, описанной около четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного квадрата.

4. Площадь квадрата равна S. Найдите длину окружности, впи­санной в данный квадрат.

5. Площадь правильного треугольника равна V3 см². Вычислите длину окружности, описанной около этого треугольника.

6. Длина окружности, описанной около равностороннего треуголь­ника, равна 27w3 см. Вычислите периметр этого треугольника.

7. Периметр правильного треугольника равен 18 см. Вычислите длину окружности, описанной около треугольника, вершинами кото­рого служат середины сторон данного правильного треугольника.

8. Площадь равностороннего треугольника равна 4V3 см². Вычислите длину окружности, вписанной в этот треугольник.

9. Площадь четырехугольника ТЕКР, вершинами которого служат середины сторон квадрата ABCD, равна S. Найдите длину окружности, описанной около квадрата ABCD (рис. 97, а).

портала www.adu.by

118