Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

65

Дано:

ABCD — трапеция, АВ = CD = 10 см, Z BAD = 60° (рис. 58, а).

В ы ч и с л и ть. *3j\BQ£)<

а) б)

Рис. 58

Решение.

a+b

Для нахождения площади трапеции можем воспользоваться

формулой S =

— • h, где a, b — длины ее оснований, h — высота.

П 2 BC + AD „„

1) усть отрезок Вг — высота трапеции. Тогда д = • Вг

со б 2

(рис. 05, ).

2. Так как в трапецию ABCD вписана окружность, то ВС + AD =АВ + CD. Но так как трапеция равнобедренная, АВ = CD. Таким образом, ВС + AD = 2АВ = 20 см.

3. В прямоугольном треугольнике AFB катет BF = ABsm60° =

= 1U • — = 5\М см. Теперь можем найти площадь трапеции

2

BC + AD „„ 20 _г гг _г„ пг о т In 9

S_ABCD = ■ Вг = —t>Vo = oU-v/o (см ). Ответ: bVy/o см .

2 2

Задача 2. ABCDA_lB_lC_lD_l — прямоугольный параллелепипед, основанием которого служит квадрат. Вычислите площадь боковой грани параллелепипеда, если диаметр окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен 3v2 см, а боковое ребро в два раза больше стороны основания.

	т:в,ж <		*т"
1 :а	уЛо
	1
	М	D ■:;■::	щ
1 А

Дано:

ABCDA_lB_lC_lD_l — прямоугольный параллелепипед, DD_X = 2АВ, AD = DC,

а)

Rabcd = Зл/2 см. Найти: площадь б) боковой грани.

Рис. 59

Скачено с Образовательного

Решение.

По условию дан прямоугольный параллелепипед, значит, каждая его грань является прямоугольником. Так как основания параллелепипеда — квадраты, то боковые грани — равные прямо­угольники. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, следовательно, достаточно вычислить, например, длины DC иDD_x, тогда площадь грани S_DDCC = S_DDCC = DC ■ DD_{.

1. Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру окружности, значит, АС= 3V2 см (рис. 59, б).

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ADC имеем АС² = 2DC², 18 = 2DC². Значит, DC = 3 см.

3. По условию боковое ребро параллелепипеда в два раза больше стороны основания. Значит, DD_X = 2DC = 6 см.

4) Теперь можем вычислить площадь боковой грани S_DDCC = = DC ■ DD_X = 6 • 3 = 18 (см²). Ответ: 18 см².

Задачи к § 5

I

1. Квадрат ABCD описан около окружности с центром в точке О (рис. 60, а). Вычислите площадь треугольника СОВ, если радиус окружности равен 2 см.

2. Длина диагонали квадрата равна 4v2 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в квадрат.

а)

в)

б) Рис. 60

3. Прямоугольная трапеция ABCD описана около окружности. Вычислите длину боковой стороны, если радиус окружности равен 4 см, а острый угол трапеции 60° (рис. 60, б).

портала www.adu.by

66