Глава 3

Координатный метод

139

У, Уг	.	В(ху2)
0	* х

а)

в)

б) Рис. 109

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить площадь квадрата ABCD, две вершины которого имеют координаты А (8; 8) и 5(5; 5). Площадь квадрата равна квадрату длины стороны. Сле­довательно, S_ABCD = AB². Для вычисления длины стороны АВ вос­пользуемся формулой расстояния между двумя точками АВ =

= у(8-5)²+(8-5)² = л/3 +3 = 3v2.

Таким образом, площадь квадрата S_ABCD = AB² = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед.

3. Уравнение окружности. Рассмотрим вопрос об уравнении окружности.

Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигу­ры, если ему удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре.

Составим уравнение окружности с центром в точке О (х₀; у₀) и радиусом R.

Пусть точка М (х; у) принадлежит окружности. Тогда в силу оп­ределения окружности СM = R. Следовательно, квадрат расстояния между точками С и М равен квадрату радиуса: (х — х₀)² + (у — у₀) = R² (рис. 110, а).

Пусть точка М₁ {х_х; у_х) не принадлежит окружности, тогда СM ^ R, а значит, (х — х_х)² + (у — у_х) ^ R², т. е. если точка не принадлежит окружности, то ее координаты не удовлетворя­ют уравнению (х — х₀)² + (у — у₀) = R². Таким образом, уравнение

Скачено с Образовательного

(x – x₀)² + (у – у₀) = R² есть уравнение окружности с центром в точ­ке С (x₀; y₀) и радиусом R.

Заметим, что если центр окружности совпадает с началом сис­темы координат, то уравнение окружности имеет вид x² + y² = R² (рис. 110, б).

у	л
Q	у *

а)

в)

б) Рис. 110

Задача 1. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек А (—6; 0) и В (6; 0) равна 104.

Решение.

1. Пусть М (х; у) — точка, принадлежащая фигуре, уравнение ко­торой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM² + ВМ² = 104 (рис. 110, в).

2. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем:

AM = -у/(х + б)² + у² и ВМ = д/(х - б)² + у².

3) По условию задачи (х + б)² + у² + (х — б)² + у² = 104. После упрощения получаем х² + у² = 16.

Если точка М (х; у) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM² + ВМ² ^ 104, а значит, координаты точки М(х; у) не удовлетворяют уравнению х² + у² = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид х² + у² = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.

4. Координаты середины отрезка. Рассмотрим вопрос о вычис­лении координат середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка.

портала www.adu.by

140