Глава 4

Задачи для повторения

153

22. В прямоугольный треугольник с катетами 36 см и 48 см вписана окружность. Через центр окружности проведены прямые, параллель­ные сторонам треугольника. Вычислите длины средних отрезков сторон треугольника, отсекаемых проведенными прямыми.

23. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС дли­на боковой стороны равна 6v6 см. Окружность, диаметром кото­рой служит сторона АВ, пересекает сторону ВС в точке Е так, что BF : FC = 2 : 1. Вычислите длину основания треугольника.

24. В прямоугольный треугольник, длины катетов которого 3 см и 4 см, вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает катеты и разбивает данный треугольник на четырехугольник и треугольник. Вычислите периметр получившегося треугольника.

25. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CD к гипотенузе. Отрезок CD является диаметром окружности, которая на катетах АС и ВС отсекает хорды а и Ь. Найдите площадь треугольника ABC.

2. Равнобедренный треугольник и окружность

26. Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, если длина его основания равна 24 см, а высота, про­ веденная к основанию, равна 9 см.

Дано:

АВ = ВС, BD _1_ АС, D є АС, АС = 24 см, BD = 9 см. Найти: г.

а) б)

Рис. 116 Решение.

S p

Для вычисления радиуса r вписанной окружности воспользуемся формулой S = rp, где S — площадь треугольника, p — его полупе­риметр. Отсюда получаем r

Скачено с Образовательного

24 • 9 = 108 (см²)

АС ■ BD

2

1. Площадь треугольника S (рис. 116, а, б).

2. В прямоугольном треугольнике ADB катет АВ = y/BD² + AD² = = v81 + 144 =15 (см).

2АВ + АС 30 + 24 27

3) Т еперь полупериметр р = = = (см).

2 2

Т S 108

4) аким образом, находим г= = = 4 (см).

р 27

Ответ: 4 см.

27. В равнобедренный треугольник, длина боковой стороны ко­торого равна 18 см, а основания — 12 см, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Вычислите длину отрезка касательной, который ограничен точками пересечения с боковыми сторонами.

28. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиу­са г. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в от­ношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите площадь треугольника.

29. Длины боковой стороны и основания равнобедренного тре­угольника равны соответственно 5 см и 6 см. Вычислите расстояние между точкой пересечения высот треугольника и центром вписанной окружности.

30. В окружность вписан равнобедренный треугольник, в котором длины основания и боковой стороны равны соответственно 10 см и 12 см. Через середину высоты, проведенной к основанию треугольника, проведена хорда, параллельная основанию. Вычислите длину хорды.

31. Равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписан в окружность. Из вершины А проведен перпендикуляр к стороне ВС и продолжен до пересечения в точке Е с касательной к окружности, которая проходит через вершину В. Найдите длину отрезка BE, если АЕ делит высоту BD на отрезки, равные тип, если считать от вер­шины В.

32. Длина основания равнобедренного треугольника равна 4v2 см, а медианы боковой стороны — 5 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник.

портала www.adu.by

154