Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

53

Третий случай. Если треугольник ВАС прямоугольный с пря­мым углом при вершине Л, то формула верна, так как в этом случае sin Л = 1 и сторона, лежащая против угла Л, является диаметром окружности, т. е. а = 2R.

Что и требовалось доказать.

Задачи к § 4

I

1. ABC — равносторонний треугольник, О — центр впи­санной в него окружности, F = ВО П АС (рис. 50, а). а) Верно ли, что ∠ OAF = 30°? б) Вычислите градусную меру угла BOА. в) Вычислите высоту треугольника ABC, если радиус вписанной в

него окружности равен 2 см.

а) б) в)

Рис. 50

2. Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если длина его стороны равна 4v3 см.

3. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2V3 см. Вычислите периметр треугольника.

4. Точка О — центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, основание которого АВ, F = AB П СО (рис. 50, б). Найдите отношение СО : OF, если CF = 4 см и АВ = 6 см.

5. Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедрен­ный треугольник, если длина его основания равна 10 см, а боковая сторона — 13 см.

Скачено с Образовательного

6. Вычислите длину основания равнобедренного треугольника, если его периметр равен 32 см, а центр вписанной окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5 : 3, считая от вершины.

7. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине С, касается сторон треугольника в точках F, 7и/С(рис. 50, в). Вычислите длину гипотенузы треугольника, если АК + ТВ = 10 см.

8. В прямоугольный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 2 см. Вычислите периметр треугольника, если длина его гипотенузы равна 13 см.

9. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписана окружность. Вычислите радиус этой окружности, если длина катета, прилежащего к углу в 60°, равна 2v3 см.

10. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Вычислите расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности.

11. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. Вычислите радиус окружности.

12. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 5 см, а длина одного из катетов 12 см. Вычислите периметр треугольника.

13. Точка О — центр окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, BF — диаметр окружности, T = BFf) ЛС (рис. 51, а). а) Докажите, что ОТ = TF. б) Верно ли, что ∠ AOT = 60°? в) Вычислите высоту треугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см.

14. Вычислите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если длина его стороны равна 10 см.

15. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 2-\/3 см. Вычислите периметр этого тре­угольника.

16. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность (рис. 51, б). Вычислите радиус этой окружности, если АС = 8 см и ВС = 6 см.

портала www.adu.by

54