Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

69

D	^ .	С
А	""~-*В

25. В окружность вписан четырехугольник ABCD так, что ее центр О лежит на стороне AD. Вычислите градусные меры углов BCD и BDC, если ZABC = 140°, ZADB = 20° (рис. 62, а).

26. Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что сторона AD служит диаметром окружности. Вычислите градусные меры углов BAD, ADC и ВСА, если ZABC = 132°, Z BCD = 140°.

■тм^лштл.
g	f^—Ї£	i#^"^
■"г.'."г>	\js
	***\ "		С i
■■.■.	S \
:'^1&^
:\,л ■■ї...:.-■..■:'£> .■..-:". .'■

а)

в)

б) Рис. 62

27. В окружность с центром в точке О вписан прямоугольник ABCD (рис. 62, б). а) Верно ли, что точка О есть середина диагонали АС? б) Вычислите периметр прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 2 см, а диагональ прямоугольника образует со стороной угол 30°.

28. Периметр прямоугольника равен 12 см, а длины его сторон относятся как 1 : 2. Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольника.

29. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, основани­ями которого служат квадраты, площадь каждого из них равна 49 см² (рис. 62, в). Вычислите диаметр окружности, описанной около боковой грани параллелепипеда, если длина бокового ребра равна 15 см.

30. Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольника, если его площадь равна 8 см², а длина одной из сторон равна 2 см.

31. Докажите, что если около параллелограмма описана окруж­ность, то этот параллелограмм является прямоугольником.

32. Докажите, что если около трапеции можно описать окруж­ность, то эта трапеция равнобедренная.

Скачено с Образовательного

33. Окружность радиуса 4 см описана около трапеции ABCD, а ее центр О лежит на основании AD трапеции. Вычислите длину диагонали трапеции, если ZADC = 60° (рис. 63, а).

б)

а)

Рис. 63

34. Около трапеции, высота которой равна 4 см, описана окруж­ность. Вычислите радиус окружности, если основание трапеции явля­ется диаметром окружности, а один из углов трапеции равен 120°.

35. Центр окружности радиуса 6 см, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований трапеции. Вычислите периметр трапе­ции, если один из ее углов равен 60°.

36. Основание трапеции ABCD является диаметром описанной около нее окружности. Серединный перпендикуляр / к боковой сто­роне АВ пересекает окружность в точке F. Вычислите расстояние от вершины В до точки F, если Z ADC = 60°, а радиус окружности равен 2 см (рис. 63, б).

37. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции, если длина ее диагонали равна 12 см, а боковой стороны 9 см.

38. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боко­вой стороне, один из ее углов равен 60°. Вычислите площадь трапеции, если радиус описанной около нее окружности равен 4 см.

39. Докажите, что площадь описанного четырехугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

a + b + c + d

(рис. 64, а).

S = rp, где p

2

портала www.adu.by

70