4) Площадь s правильного п-угольника можем найти по

360°

о I п2

формуле Ь = — И.п sin

2 п

Соединим вершины правильного п-угольника с его центром

1

(рис. 86, б). Тогда многоугольник разбивается на п равных

пОД-ОДвіпф

nSo_AA_z =

треугольников. Следовательно, S

1 _п2 360 = п\—Р sin

2 п

1 _п2 . 360° -Н nsm

2 я

. Что и необходимо было доказать. n

портала www.adu.by

104

Глава 3

Правильные многоугольники

105

5) Радиус r вписанной окружности выражается через

180° п 180°

радиус R описанной окружности по формуле r = Rcos

/goo.¹⁸⁰!)

В прямоугольном треугольнике OA_xF r = OF = Rsin =90°-

_n 180° ₀„

= /<cos (рис. оо, а).

п

Что и требовалось доказать.

5. Построение правильных многоугольников. Вопрос о построе­нии правильного треугольника уже рассматривался ранее. Покажем, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить пра­вильный треугольник, вписанный в окружность.

Задача 1. Постройте правильный треугольник, вписанный в дан­ную окружность.

Поиск решения.

Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Проведем диаметр BF этой окружнос­ти, обозначим буквой Т точку пересечения этого диаметра

со стороной АС. Тогда положение точки Т на отрезке OF ха-

1. 1 рактеризуется равенством О! = It, так как О! = —Or = —к

2. 2 (задача 13, § 4, гл. 1). Кроме того, AC _l_ BF. Теперь можем осущест­вить построение (рис. 87, а).

а)

в)

б) Рис. 87 П о с т р о е н и е.

1. Проводим диаметр BF окружности и строим точку T — середину отрезка OF (рис. 87, б).

2. Строим прямую l, которая проходит через точку T и перпенди­кулярна диаметру BF (рис. 87, б).

Скачено с Образовательного

3. Отмечаем точки A и C пересечения прямой l с окружностью.

4. Строим отрезки BA и BC (рис. 87, в). Треугольник ABC — ис­комый.

Докажите самостоятельно, что построенный треугольник пра­вильный.

Задача 2. Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку a.

вь	СҐ-—-~Р	lF
	/ ■. . . -■■■-.' ■■
	Л** -^Ь

а)

в)

б) Рис. 88

П о и с к р е ш е н и я.

Пусть ABCDFE — правильный шестиугольник, сторона которого равна a. Рассмотрим описанную около этого шести­угольника окружность. Известно, что радиус окружности, опи­санной около правильного шестиугольника, равен его стороне, т. е. R = AB = BC = CD = DF = FE = EA = a (рис. 88). Этим можем воспользоваться для построения шестиугольника.

П о с т р о е н и е.

1. Строим окружность с произвольным центром O и радиуса a: ω (O; a).

2. Выбираем на этой окружности произвольную точку A и строим окружность ω₁ (A; a). Отмечаем точки B и E пересечения окружности ω с окружностью ω₁ (рис. 88, б).

3. Далее строим точку C, которая является одной из точек пересе­чения окружности ω и окружности ω₂ (B; a). Аналогично строим точки D и F. Шестиугольник ABCDFE — искомый (рис. 88, в).

Заметим, что результат задачи 1 позволяет построить правильный шестиугольник, если построен правильный треугольник.

портала www.adu.by

Правильные многоугольники 107

параллельных его противолежащим сторонам (рис. 89, а). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ — правильный.

106 Глава 3