108 Глава 3

Правильные многоугольники 109

а) б) в)

Рис. 90

а) б) в)

Рис. 91

17. Точки Т, F, /Си Р — середины сторон АВ, ВС, CD и DA квад­рата ABCD соответственно (рис. 90, в). Вычислите площадь квадрата ABCD, если радиус окружности, вписанной в четырехугольник PTFK, равен 10 см.

18. Радиус окружности, описанной около правильного четырех­угольника ABCD, равен R. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника ABCD.

19. Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника равна 10 см. Вычислите радиус окружности, описанной около этого шести­угольника.

20. ABCDEF — правильный шестиугольник. Вычислите площадь этого шестиугольника, если площадь треугольника BCD равна 10 см².

21. В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BDF.

22. Докажите, что площадь S правильного шестиугольника, вписан-

ного в окружность радиуса R, можно найти по формуле д = R .

2

23. Докажите, что площадь S правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса г, можно найти по формуле S = 2yf3r².

24. ABCDEF — правильный шестиугольник, точка О — его центр. Докажите, что: а) треугольник ДО/⁷ — правильный; б) четырехуголь­ ник АВСО — ромб.

Скачено с Образова

25. ABCDEF — правильный шестиугольник. Докажите, что че­тырехугольник ACDF является прямоугольником. Найдите площадь прямоугольника ACDF, если радиус окружности, описанной около шестиугольника, равен R (рис. 91, а).

26. Докажите, что середины сторон правильного шестиугольника ABCDEF являются вершинами правильного шестиугольника PQRSTK (рис. 91, б). Найдите отношение периметров этих шестиугольников.

27. ABCD — квадрат, вписанный в окружность с центром в точ­ке О. Через центр квадрата перпендикулярно его сторонам проведены прямые 1₁ и /₂, которые пересекают окружность в точках F, Р и Т, К соответственно (рис. 91, в). Докажите, что восьмиугольник APBTCFDK является правильным.

28. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен Я. Найдите периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

29. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окруж­ность, на 3 см меньше периметра правильного четырехугольника, описанного около этой окружности. Вычислите радиус окружности.

30. Площадь правильного треугольника ABC равна V3 см². Вычислите расстояние от центра О описанной около треугольника окружности до прямой, содержащей его сторону (рис. 92, а).

31. Радиус окружности, описанной около грани ABC правильного тетраэдра ABCD, равен 6 см. Вычислите длину ломаной DACTO, где

портала www.adu.by