Глава 3 Вопросы к третьей главе

1. Верно ли, что многоугольник, у которого все стороны равны, является правильным? Приведите пример выпуклого много­угольника, стороны которого равны, но который не является правильным.

2. Верно ли, что два взаимно перпендикулярных диаметра окружности являются диагоналями правильного четырех­угольника, вписанного в эту окружность?

3. Всегда ли около правильного многоугольника можно описать окружность?

4. Чему равен радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника?

5. Верно ли, что сторона a_n правильного n-угольника выража­ется через радиус R описанной окружности по формуле

a_n = 2Rsin^180° ? n

6. По какой формуле сторона правильного n-угольника выража­ ется через радиус вписанной окружности?

[7]. Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна S. Чему равна длина окружности?

[8]. Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окруж­ность, равна S. Найдите площадь круга, ограниченного данной окружностью.

[9]. Найдите длину окружности, описанной около квадрата, рав­новеликого кругу радиуса R.

[10]. Найдите отношение длины окружности, вписанной в правиль­ный шестиугольник, к длине окружности, описанной около него.

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

Задачи для повторения Треугольники и окружность

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

Глава 4 задачи для повторения

§ 1. Треугольники и окружность

1. Прямоугольный треугольник и окружность

1. Длина катета ВС прямоугольного треугольника АСВ рав­на 15 см, а его катет АС служит диаметром окружности. Длина хорды, соединяющей вершину С прямого угла с точкой F пересе­чения окружности и гипотенузы, равна 12 см. Вычислите радиус окружности (рис. 114, а, б).

Дано: ZACB = 90°, АС — диаметр, ВС= 15 см, CF = 12 см. Найти: R.

а) б)

Рис. 114 Решение.

Из условия следует, что радиус R равен половине катета АС. Заметим, что ZAFC = 90°, так как опирается на диаметр АС. Таким образом, отрезок CF — высота, проведенная к гипотенузе треугольника АСВ, следовательно, CF² = AF ■ FB.

2) Воспользовавшись равенством CF² = AF ⋅ FB, находим AF CF² : FB

1) В треугольнике CFB катет FB =у}ВС² -CF² =v225-144 = = 9 (см).

= ¹⁴⁴ (см). 9

3) Теперь AB = AF + FB

= ¹⁴⁴ + 9 = ²²⁵ (см). 99 4) Квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен

произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на

гипотенузу, следовательно,

AC

АС² = AF ■ АВ и АС = y]AF ■ FB = 20 (см).

2

Таким образом, R О т в е т: 10 см.

10 (см).

Скачено с Образовательного

149

Задачи для повторения

2. Окружность, построенная на стороне AB прямоугольника ABCD как на диаметре, пересекает его диагональ BD в точке F. Вычислите площадь прямоугольника, если точка F делит диагональ на отрезки, длины которых равны 4 см и 9 см.

3. Длина одной из смежных сторон прямоугольника равна 15 см, а длина проекции другой стороны на диагональ прямоугольника равна 16 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в один из треугольников, на которые диагональ разбивает данный прямо­угольник.

4. Основание трапеции является диаметром описанной около нее окружности. Вычислите площадь трапеции, если длины оснований трапеции равны 10 см и 26 см.

5. Длина средней линии трапеции равна 9 см, а ее площадь 54 см². Вычислите длины оснований трапеции, если одно из оснований явля­ется диаметром описанной около трапеции окружности.

6. В прямоугольной трапеции, высота которой h, на сторо­не, перпендикулярной основанию, как на диаметре построена окружность, которая касается противолежащей стороны трапеции. Найдите произведение длин оснований трапеции.

7. Длина стороны AB параллелограмма ABCD равна 15 см. Сторона AD является диаметром окружности, описанной около тре­угольника ABD и пересекающей сторону BC в точке T. Вычислите длину хорды BT , если длина ортогональной проекции диагонали BD на сторону AD равна 16 см.

8. Основание D перпендикуляра, проведенного из точки C окружности к ее диаметру AB, делит его на отрезки длиной 4 см и 9 см. Окружность, построенная на отрезке AD как на диаметре, пересекает хорду AC в точке F. Вычислите длину отрезка AF.

9. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, а меньшая окружность пересекает диаметр AB большей окружности в точке T. Касательная, проведенная к меньшей окружности в точке T, пересекает большую окружность в точке C. Вычислите радиус меньшей окружности, если известно, что она пересекает хорду A C

портала www.adu.by

150