Глава 3

Координатный метод

143

Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени ах + by + с = О, где а и b одновременно не равны нулю.

Задача 3. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АСВ с прямым углом при вершине С. Найдите множество точек М плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM² + ВМ² = 2СМ².

V У	в
с	лЧ

Решение.

Рис. 112

Рассмотрим систему координат, начало которой совпадает с вершиной С, а вершины А и В расположены на осях Ох и Оу, как показано на рисунке 112. Если катет данного треугольника равен а, тогда (0; 0), (а; 0), (0; а) — координаты точек С, А и В в вы­бранной системе координат соответственно. Пусть (х; у) — координаты точки М, принад­лежащей искомому множеству точек. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точ­ками, если известны их координаты:

AM CM

yjix-af + у², ВМ = *Jx² + (y- af,

₄

х²+у².

По условию задачи

AM² + ВМ² = 2СМ² , следовательно,

(х — а)² + у² + х² + (у — а)² = 2 (х² + у²).

Отсюда получаем уравнение х + у — а = 0.

Если точка М (х; у) не принадлежит искомому множеству точек, то AM² + ВМ² Ф 2СМ², а значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению х + у — а = 0. Таким образом, х + у — а = 0 есть уравнение искомого множества точек и это множество есть прямая, на которой лежит гипотенуза АВ данного треугольника.

Суть координатного метода заключается в том, что введение сис­темы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать ее, используя знания по алгебре.

Скачено с Образовательного

Задачи к § 4

с		У	В
	,'
D ~Л			X

1. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны a и b соответственно. Какие координаты имеют вершины ромба, если начало системы ко­ординат совпадает с точкой пересечения диагоналей, а его вершины расположены, как показано на рисунке 113, а?

С	ЙЛ£>
>г	'■■'::/ X

а)

в)

б) Рис. 113

2. Сторона квадрата ABCD равна a. Какие координаты имеют вер­шины квадрата и точка F пересечения его диагоналей в прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с вершиной A, а верши­ны B, C и D расположены так, как показано на рисунке 113, б?

3. ABC — равносторонний треугольник, сторона которого равна a. Какие координаты имеют вершины треугольника и середины его сторон, если начало прямоугольной системы координат совпадает с серединой F стороны BC, а вершины треугольника расположены, как показано на рисунке 113, в?

4. Вычислите расстояние между точками: а) A (5; –7), B (2; –3); б) C (–1; 4), D (3; 5); в) F (–3; 0), O (2; 4).

5. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A (–4; 6), B (4; 0), C (7; 4).

6. Составьте уравнение окружности с центром в точке O (–2; –5) и радиусом 3.

7. Составьте уравнение окружности с центром в точке T (–1; 4) и проходящей через точку A (3; 5).

8. Составьте уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок AB, где A (–2; 3) и B (2; 5).

портала www.adu.by

144