132 Глава 3

27. На стороне AD прямоугольника ABCD как на диаметре постро­ ена окружность, которая пересекает диагональ BD в точке К так, что DK : KB = 1 : 3. Длина перпендикуляра, опущенного из вершины А на диагональ BD, равна 6 см. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около прямоугольника.

28. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около равнобедренного треугольника, длина основания которого равна 8 см, а угол при его основании равен 15°.

29. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 30°, а высота, проведенная к основанию, равна 4 см. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около этого треугольника.

30. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, опи­санной около равнобедренного треугольника, если длина основания треугольника равна 8 см, а высота, проведенная к этому основа­нию, — 3 см.

31. Угол при основании равнобедренного треугольника равен а, а высота, проведенная к основанию, — т. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около этого треугольника.

32. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный тре­угольник, если его боковая сторона равна а, а угол при его верши­не — а.

33. Вычислите радиус круга, вписанного в прямоугольный тре­угольник, в котором длины гипотенузы и катета равны 13 см и 5 см соответственно.

34. Вычислите площадь круга, вписанного в прямоугольный тре­угольник, если его острый угол равен 30°, а длина катета, лежащего против этого угла, равна 2 см.

35. Точка касания вписанного круга делит гипотенузу прямоуголь­ного треугольника на отрезки, длины которых равны 4 см и 6 см. Вычислите площадь круга, вписанного в этот треугольник.

36. Длина окружности, ограничивающей круг, равна 6% см. Вписанный угол окружности равен 20°. Вычислите площадь сектора, ограниченного дугой, на которую опирается вписанный угол.

Скачено с Образова

Длина окружности и площадь круга 133

37. Площадь круга равна 5% см², а угол, вписанный в окружность, ограничивающую этот круг, равен 36°. Вычислите площадь сектора, ограниченного дугой, на которую опирается вписанный угол.

38. Длина боковой стороны равнобедренной трапеции равна 8 см, а угол при меньшем основании — 120°. Вычислите площадь круга, вписанного в эту трапецию.

39. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапе­цию, если угол при ее основании равен а, а средняя линия равна т.

40. Площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию с углом, равным 30°, равна 4% см². Вычислите длину средней линии трапеции.

41. Площадь равнобедренной трапеции, в которую вписан круг, равна 18 см², а длина ее боковой стороны — 6 см. Вычислите площадь круга, вписанного в трапецию.

42. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапе­цию, основания которой а и Ь.

43. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, опи­санной около равнобедренной трапеции, длины оснований которой равны 2 см и 14 см, а длина боковой стороны — 10 см.

44. Площадь круга, описанного около грани правильного тетраэдра, равна 4% см². Вычислите площадь грани тетраэдра.

45. Основаниями прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ слу­ жат равнобедренные прямоугольные треугольники ABC и А₁В1С₁. Вычислите сумму площадей боковых граней призмы, если площадь круга, описанного около основания призмы, равна 16л см², а боковое ребро равно радиусу этого круга.

II

46. ABC — равносторонний треугольник, сторона которого рав­на а. Точки Т, Е и Е лежат на сторонах АВ, ВС и АС соответственно так, что AT : ТВ = 1 : 2, BF : FC = 1 : 2 и СЕ : ЕА = 1 : 2. Докажите, что треугольник TEE — равносторонний, и найдите площадь круга, опи­санного около него.

47. Точки Е, Т, ЕиР лежат на сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата

ПТ Ґ^Г ГЛП Л Г- 1 Я П

ABCD соответственно так, что BJ = СЕ=иР=Аг = —АВ. Докажите, что

3

портала www.adu.by

134