Глава 3

Длина окружности и площадь круга

129

AD

2 л ■ 5 = 1Ол см. О т в е т: 1Ол см.

3. Для нахождения длины отрезка AD воспользуемся формулой r = p – AD. Отсюда AD = p – r = 12 – 2 = 10 см.

4. Теперь находим R = ^AD = 5 см. Следовательно, C = 2πR

Задача 2. Основаниями прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ служат равносторонние треугольники ABC и A₁B₁C₁. Вычислите длину окружности, описанной около боковой грани при­змы, если площадь круга, вписанного в основание, равна 9π см², а все ребра призмы равны между собой (рис. 105, а).

4	s—	в,
	ЩШ
А	'/ y\ffiii-	в

а)

в)

б) Рис. 105 Р е ш е н и е.

По условию задачи каждая боковая грань призмы является квадратом. Следовательно, достаточно вычислить длину радиуса R окружности, описанной около квадрата AA₁B₁B, так как длина окружности C = 2πR. Радиус R равен половине диагонали квадрата,

1

л/2

т е. R =АВ, =ЛШрис. 105, б). Для нахождения длины стороны АВ можем воспользоваться тем, что по условию задачи известна площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник ABC

1. Пусть точка О — центр круга, вписанного в треугольник ABC, и Т = СО гл АВ, тогда АВ = 2АТ.

2. В прямоугольном треугольнике АТО катет ТО = г и гипотенуза АО = 2г, где г — радиус вписанного круга. В этом треугольнике катет

АТ= -\1А0² -ТО² = л/4г² -г² = r-v/3 (рис. 105, в).

3. Так как площадь круга, вписанного в треугольник ABC, равна 9л см², то из уравнения кі² = 9% находим, что г = 3 см. Следовательно, АТ= r-v/3 = З-ч/З см и АВ = 6-у/З см и R = 3v6 см.

4. Теперь вычисляем длину С окружности, описанной около грани AAyByB: C = 2%R = бл-у/б см. Ответ: бтгТб см.

Скачено с Образовательного

Задачи к § 3

I

1. Вычислите площадь круга, вписанного в квадрат, если длина стороны квадрата равна 8 см.

2. Площадь круга, вписанного в квадрат, равна 16л см². Вычислите площадь квадрата.

3. Вычислите площадь круга, вписанного в квадрат, длина диаго­нали которого равна 4см.

4. В круг вписан квадрат. Найдите отношение площади этого круга к площади круга, вписанного в данный квадрат.

5. Площадь квадрата равна 16 см². Вычислите площадь части квадрата, лежащей вне вписанной в него окружности.

6. Точки Т, K, F, E — соответственно середины сторон АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD, О =КЕ П TF (рис. 106, а). Вычислите площадь круга, вписанного в квадрат TBKQ, если площадь круга, вписанного в квадрат ABCD, равна 4 л см².

Б	Р К С
1
		о Г
А	~Е

б)

а)

Рис. 106

7. В равностороннем треугольнике ABC точки Т, /Си F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 106, б). Вычислите площадь круга, вписанного в треугольник TKF, если длина окружности, впи­санной в треугольник АВ С, равна 18л см.

8. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, опи­санной около равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 6v3 см.

9. Вычислите площадь равностороннего треугольника, если пло­щадь круга, вписанного в этот треугольник, равна л см².

портала www.adu.by