2.6. Моделі детерміновані і випадкові.

За наявності в моделі випадкових елементів, тобто в залежності від способу задання параметрів, вихідної інформації, початкових умов і способу знаходження характеристик системи, математичні моделі можна розділити на два великих класи: детерміновані і випадкові (імовірнісні, стохастичні). У детермінованих моделях усі вихідні дані, обмеження і цільова функція (тобто деяке співвідношення, яке кількісно характеризує поставлену перед системою ціль) задаються у виді конкретних чисел або векторів числових функцій.

У детермінованих моделях використовуються різні класичні методи математики: диференціальні, лінійні різницеві і інтегральні рівняння, оператори дії зведення до алгебраїчних моделей і ін. При спільному розгляді цих співвідношень, стани системи в заданий момент часу однозначно визначаються через параметри системи, вхідну інформацію і початкові умови.

За ступенем математичної абстракції детерміновані моделі можна розділити на складні, що описують усі причинні зв'язки якоїсь реальної системи і дозволяють точно прогнозувати поводження системи в залежності від зміни змінних (чи параметрів), і спрощені,— у яких вибирається ряд основних, істотних залежностей; встановлюються і математично описуються зв'язки між окремими параметрами, що відповідають причинно-наслідковим закономірностям; інші, несуттєві зв'язки відкидаються (ідеалізовані моделі).

Між цими двома моделями існує ряд моделей, що відрізняються ступенем деталізації. Перші моделі, будучи найбільш точними і достовірними в чистому виді, через складність не можуть широко застосовуватися в моделюванні промислового виробництва. На практиці найчастіше застосовуються спрощені ідеалізовані моделі. При цьому вважається, що істотні фактори враховуються, несуттєві відкидаються. Між прийнятими в моделі факторами і результуючими показниками установлюється жорсткий детермінований зв'язок.

Будь-якому реальному процесу притаманні випадкові флуктуації. Однак вибір детермінованої чи імовірнісної математичної моделі залежить від того, чи враховуються випадкові фактори. Виділення детермінованих моделей в окремий клас пояснюється широким їх застосуванням і розмаїтістю математичних методів рішення детермінованих задач.

Якщо хоча б один параметр моделі або обмежувальна функція має в якості своїх значень випадковий вектор чи випадкову величину, то це випадкова (стохастична) модель. В цьому випадку під однозначністю визначення характеристик моделюючого процесу розуміється однозначне визначення розподілів ймовірностей для характеристик процесу при заданих розподілах ймовірностей для початкових умов і збурень.

Стохастичний характер моделі зв'язаний з наявністю в об'єкті і в середовищі різних неконтрольованих, але істотних факторів, які можна моделювати статистично. Стан системи в цьому випадку Y = F (X, U, E (t)}, де Е(t) — випадковий процес, що моделює наявну невизначеність об'єкта і середовища. Ця невизначеність може бути зв'язана як зі швидкою зміною параметрів об'єкта, так і з перешкодами, що накладаються на вимірювані значення сигналів на вході і виході об'єкта.

Стохастичний об'єкт і його модель ведуть себе неоднозначно в однакових ситуаціях, що моделюється випадковим вектором Е (t), статистичні властивості якого повинні бути задані. У найпростішому випадку

Y = F (X, U) + Е (t).

Прикладом стохастичного об'єкта є будь-який біологічний організм, що в однакових умовах поводиться по-різному. У цьому випадку Y описує поведінку об'єкта, що строго залежить від зовнішніх умов, а усі відхилення від цього регулярного поводження утворять «випадкову перешкоду» Е (t).

Перехід від детермінованої моделі до стохастичної здійснюється таким чином, щоб вона відбивала в собі випадковий характер даних і самої моделі. Спосіб переходу вибирається в залежності від відомостей про досліджувану модель: впевненості в правильності і надійності даних і моделі. При цьому можливо, що ці відомості помилкові.

Наприклад, у випадку детермінованого безінерційного об'єкта, коли збурення і реакція можуть розглядатися як випадкові величини Х і Y відповідно, математична модель, що описує об'єкт, дається у виді умовного математичного очікування Y відносно X, тобто об'єкт описується рівнянням вигляду

,

де М { Y/ X} —умовне математичне очікування Y відносно X, f - невипадковий закон перетворення.

Так, для підсилювального елемента, на вході якого діє випадкова величина X, вихідний сигнал У має вид

Y=M{Y\X}=KX

У загальному випадку для стохастичних об'єктів оператор є випадковим (наприклад, коефіцієнти лінійного диференціального рівняння, вагові функції і т.д.).