2.9. Модель ідеального перемішування.

Щонайкраще модель ідеального перемішування відповідає реальним потокам у проточних апаратах з мішалкою, у яких висота мало відрізняється від діаметра; мішалка створює високий ступінь перемішування й об'ємна швидкість потоків невелика. У подібних випадках у всіх точках об’єму апарата концентрація стає практично однаковою, тобто структура потоку близька до моделі ідеального перемішування. Приймаємо, що потік матеріалу, що надходить в апарат, миттєво перемішується з матеріалом, що там знаходиться, і вміст компонента потоку у всіх точках робочого об’єму апарата і на виході з нього однаковий.

Позначимо через х, у, y_ап відповідно об'ємний вміст компонента потоку на вході, виході й всередині апарата. Припустимо, що в апарат надходить потік матеріалу при постійній об'ємній продуктивності ; для установленого режиму . У загальному випадку в апараті буде акумулюватися деяка кількість компонента потоку, яку можна записати в наступній інтегральній формі:

.

Віднесемо цю кількість компонента до всього робочого обсягу апарата V:

.

У результаті диференціювання цього виразу запишемо рівняння зміни такого параметра, як вміст компонента в процесі проходження потоку матеріалу:

.

Відношення робочого обсягу нагромадження в операції до об'ємної продуктивності потоку характеризує час перебування в апараті Т_пр = V/F. Вид моделі ідеального перемішування показує, що це модель із зосередженими параметрами, тому що основна змінна змінюється тільки в часі.

Аналогічне за формою рівняння можна одержати, якщо розглянути зміну іншого характерного параметра, наприклад розподіл температури T в потоці теплоносія зі структурою ідеального перемішування. Тоді одержимо рівняння

,

де с_T — теплоємність речовини потоку теплоносія; Т — температура в будь-якій точці зони ідеального перемішування (Т = Т_у); Т_x — температура на вході в зону ідеального перемішування. Це рівняння характеризує розподіл температури в потоці з гідродинамічною структурою ідеального перемішування.

2.10. Модель ідеального витіснення.

Ідеальне перемішування характерне для відносно коротких апаратів. Трубчасті апарати з великим відношенням довжини трубок до їхнього діаметра (l/d > 20) при турбулентному русі чи рідини газу (Re > 2320) можуть бути описані як моделі ідеального витиснення. Це пояснюється тим, що при l/d > 20 поздовжнє перемішування незначне і мало спотворює потік витиснення, а турбулентний рух при цьому забезпечує рівномірний розподіл концентрації за перерізом апарата. При цьому час перебування всіх часток у зоні ідеального витиснення однаковий і дорівнює відношенню об’єму зони витіснення до об'ємної витрати рідини (чи газу):

.

Схематичне зображення моделі ідеального витиснення показане на рис.2.1.

Для складання математичного опису моделі ідеального витіснення розглянемо елементарну у чарунку зони потоку витіснення (мал. 2.2) об’ємом , довжиною і площею поперечного перерізу S₁ =1.

Введемо позначення:

- середня лінійна швидкість потоку (для проточних систем прийнято вважати, що u зберігає середнє значення в зоні витіснення);

— площа поперечного перерізу зони ідеального витіснення;

— концентрація в будь-якому перерізі потоку витіснення;

—концентрація на вході і на виході елементарної j-і чарунки, тобто, в (j—1)- і j -перерізах;

і - потоки (кількості речовини) на вході і виході елементарної j-і чарунки.

Кількість речовини , що буде акумулюватися в елементарному об’ємі при порушенні установленого режиму, коли можна виразити рівністю:

.

Зміну концентрації в розглянутій j-й елементарній чарунці одержимо, розділивши на об’єм цієї чарунки , тоді

,

де — різниця концентрацій у суміжних j-і і (j-1)-й чарунках;

— зміна концентрації в елементарній чарунці;

—значення концентрації до початку збурення;

— концентрація в будь-який момент часу (змінна величина);

(тому що прийнято = 1).

Отримане рівняння описує зміну концентрації в елементарному об’ємі зони витіснення, але тому що режим протікання поршневий, те це рівняння справедливе і для всього потоку. Тому в результаті диференціювання правої і лівої частин цього виразу за часом, переходу до границі при і підстановки замість середньої лінійної швидкості потоку її значення остаточне рівняння моделі ідеального витіснення приймає наступний вигляд:

.

Таке рівняння відображає розподіл речовини (концентрації) у потоці з гідродинамічною структурою ідеального витіснення. Можна вивести аналогічне за формою рівняння, якщо розглянути зміну іншого характерного параметра, наприклад розподіл температури Т в потоці теплоносія зі структурою ідеального витіснення. Тоді зміна Т(z, t) у потоці теплоносія за рахунок гідродинаміки можна представити у виді:

,

де c_T — теплоємність речовини потоку теплоносія;

Т — температура в будь-якій точці зони ідеального витіснення.