3.8. Дисперсія випадкової величини

Найважливішою числовою характеристикою випадкової величини є центральний момент другого порядку (другий центральний момент), який називається дисперсією випадкової величини Х, що позначається або .

Для дискретної випадкової величини дисперсія

;

для неперервної випадкової величини

.

Дисперсія характеризує відхилення окремих значень випадкової величини від середнього значення, тобто є характеристикою розсіювання випадкової величини. Чим менше дисперсія, тим тісніше концентруються ідеальні значення випадкової величини поблизу середнього значення.

На практиці при обчисленні оцінки дисперсії буває зручно використовувати зв'язок між початковими і центральними моментами:

.

Оцінка є незміщеною оцінкою дисперсії при будь-якому розподілі випадкової величини X, а при нормальному розподілі дисперсія помилки цієї оцінки

.

Оцінка дисперсії визначається також по ітеративній формулі, причому для одержання незміщеної оцінки перед дужкою в правій частині виразу повинний стояти множник :

де — оцінка математичного очікування.

У ряді випадків дисперсія виявляється незручною для практичного використання, тому що має розмірність квадрата випадкової величини. Тому як характеристику розсіювання випадкової величини часто використовується корінь квадратний з дисперсії, що одержав назву середньоквадратичного відхилення: .

При нормальному законі розподілу 99,7 % усіх вимірювань укладається в діапазон ; 95,4 — у діапазон і 68,5 % — у діапазон .

Для зручності оцінки відносної величини середньоквадратичного відхилення можна використовувати коефіцієнт варіації

,

який іноді виражають у відсотках. Коефіцієнт варіації може змінюватися теоретично від 0 до . Однак практично для багатьох технологічних процесів він не перевищує одиниці. Іноді необхідно характеризувати не коливання ознаки, а його стабільність. Для цих цілей більш зручною є величина (при ). Чим ближче k до одиниці, тим стабільніше значення ознак.

Якщо величина х підлегла нормальному розподілу чи близька до нього, то в якості міри його коливання може бути використано величину , яка характеризує найбільш ймовірне відхилення х від . При великому числі вимірювань половина значень х буде відрізнятися від середнього значення на величину більшу , і половина — на величину, меншу . Таким чином, при нормальному розподілі половина всіх значень х укладається в діапазоні . Величина називається серединним або ймовірним відхиленням. Вона пропорційна середньоквадратичному відхиленню: .

3.9. Оцінка зв'язаних зовнішніх впливів.

Якщо на технологічний процес діє кілька зовнішніх впливів, то при моделюванні необхідно оцінити їхній взаємний зв'язок. Наприклад, вміст компонентів (точніше — їхнього коливання) у вхідному потоці сировини зв'язані між собою практично завжди, тому що сума всіх компонентів дорівнює 100 %. Вміст же кожного компонента є випадковим.

Функціональна і стохастична залежність (зв'язок) різні між собою. Функціональна залежність y = f (х) означає (якщо f —однозначна функція), що кожному значенню (з області визначення функції f) відповідає тільки одне значення . Якщо ж між змінними х і у є стохастична залежність, то зв'язок між їхніми вибірками і їхнім розсіюванням визначається другим змішаним моментом К_ху. Значення К_ху можна одержати за даними двох вибірок, застосувавши формулу

.

Другий змішаний момент для нормованих випадкових величин називається коефіцієнтом кореляції. Для двох випадкових величин х і у його можна представити у виді

При цьому досягає значення ± 1 лише при точній лінійній залежності між Х і Y.

Для визначення відхилення оцінки коефіцієнта кореляції від його дійсного значення використовують критерій Фішера і таке нелінійне перетворення величини , при якому закон розподілу цієї оцінки практично наближається до нормального. Це перетворення виконується за формулою

.

Середньоквадратичне відхилення випадкової величини залежить тільки від числа дослідів : , а матиматичне очікування дуже близьке до числа, яке отримується після підстановки замість істинного значення коефіцієнта кореляції, якщо по дослідах отримане деяке значення цієї оцінки.

Приклад 31. Розглянемо обєкт з двома вхідними діями і , результати вимірювань яких представлені в таблиці 4.1. Тут кожне значення є результатом усереднення значення координати на інтервалі часу .

Таблиця 4.1.

і
1	10	11	-16	5,93	-94,8
2	12	10	-14	4,93	-69
3	14	8	-12	2,93	-35,1
4	16	8,3	-10	3,23	-32,3
5	18	6	-8	0,93	-7,4
6	20	6,2	-6	1,13	-6,8
7	22	5,3	-4	,23	-0,9
8	24	4,1	-2	-0,97	1,9
9	26	4,5	0	-0,57	0
10	28	3,5	2	-1,57	-3,1
11	30	4	4	-1,07	-4,3
12	32	3	6	-2,07	-5,2

Знайдемо середнє арифметичне і відхилення значень і від , , а також їх добутки. Далі визначимо оцінки дисперсій

, .

Коефіцієнт кореляції

,

тобто величина зв’язана з достатньо сильним причинним зв’язком, близьким до функціональної залежності.

Знайдемо довірчий інтервал коефіцієнта кореляції, скориставшись для цього критерієм Фішера. Визначимо величину і середньоквадратичне відхилення:

; .

Задамося імовірністю того, що істинне значення відрізняється від обчисленого на основі оцінки коефіцієнта кореляції не більш чим на . Так як оцінка розподілена нормально з математичним відхиленням , то , користуючись значенням інтегральної функції розподілу , можна знайти l. Нехай

.

Тоді . Таким чином, істинне значення з імовірністю 0,99 лежить в межах , де

.

Цим двом значенням відповідають значення коефіцієнта кореляції , , відповідно, отримане вище значення коефіцієнта кореляції значиме.