2.11. Дифузійна модель.
Більш складна - дифузійна модель широко застосовується при оцінці реальних потоків в апаратах, де відбувається подовжнє перемішування.
Розрізняють
одно - параметричну і дво - параметричну
дифузійні моделі. Якщо враховують тільки
поздовжнє перемішування, а в радіальному
напрямку приймають рівномірний розподіл
концентрації речовини, таку модель
називають одно - параметричною дифузійною.
Основою для неї є модель витіснення,
ускладнена зворотним перемішуванням.
Параметром, що характеризує одно -
параметричну дифузійну модель, служить
коефіцієнт подовжнього перемішування
.
Якщо
при складанні математичного опису
моделі враховують, крім подовжнього,
також радіальне перемішування, то
вводять другий параметр - коефіцієнт
радіального перемішування
.
Така дифузійна модель називається дво
- параметричною. Вона більш точно відбиває
процес, але її опис значний ускладнюється,
рішення стає трудомістким і через цього
малозастосовним.
При складанні диференціального рівняння одно-параметричної дифузійної моделі приймається, що зміна вмісту компонента потоку є неперервною функцією відстані z. Вміст компонента в даному перерізі постійний, об'ємна продуктивність по потоці F і коефіцієнт подовжнього перемішування не змінюються по довжині і перерізі потоку. Для цих умов рівняння дифузійної моделі має вид:
.
Коефіцієнт
подовжнього перемішування визначається
дослідним шляхом. Коли
= 0, одно параметрична чарункова модель
переходить у модель ідеального витіснення.
Коефіцієнт подовжнього перемішування
обчислюється за розрахунковими формулами,
складеним для апаратів різних типів.
При експериментальному визначенні
коефіцієнта подовжнього перемішування
його звичайно представляють у виді
безрозмірного комплексу. При цьому
використовують критерій Пекле
,
де L
— визначальний лінійний розмір зони
(системи). Тоді коефіцієнт подовжнього
перемішування в безрозмірній формі має
вид:
.
Безрозмірний комплекс
іноді називають зворотним критерієм
Пекле, що характеризує тільки подовжнє
перемішування.
Якщо
замість середньої лінійної швидкості
потоку u
підставити її значення
,
то рівняння, що описує зміну концентрації
в зоні, для якої справедлива одно -
параметрична дифузійна модель, приймає
вид:
,
де
— площа поперечного переріза потоку.
Ряд розглянутих моделей може бути з'єднаний в певний ланцюг. Така чарункова модель відповідає послідовно з'єднаним апаратам з мішалками (каскад реакторів), при певних гідродинамічних режимах. Фізична сутність цієї моделі полягає в тому, що потік розглядається таким, що складається з послідовно з'єднаних чарунок, наприклад, ідеального перемішування при відсутності перемішування між ними.
При числі чарунок m=1
дана модель переходить у просту модель
ідеального перемішування, при
— у модель ідеального витиснення. Якщо
об’єми всіх чарунок однакові, сума їх
дорівнює робочому об’єму процесу й
об'ємна продуктивність за потоком для
всього ланцюга F=const,
рівняння чарункової моделі можна
записати у виді системи рівнянь:
або з врахуванням
.
Розглянемо частковий випадок,
коли модель складається з двох ідеальних
змішувачів, тобто m = 2:
для першого змішувача
;
для другого змішувача
.
Вміст компонента в продукті, що виходить
з першого змішувача, є вхідною величиною
для другого:
.
Тут
;
.
Розв’язуючи систему двох рівнянь для
дво - чарункової моделі, записуємо:
.
Це рівняння описує послідовну роботу двох ідеальних змішувачів.
Різновидністю чарункових є комбіновані моделі, що застосовуються для опису апаратів з неупорядкованою гідродинамікою, коли потрібно враховувати ряд додаткових явищ, зокрема, застійні зони. У таких випадках приймають, що апарат складається з декількох зон, з'єднаних послідовно або паралельно і мають одну з розглянутих вище структур потоків.