3.6. Помилки вимірювання. Закони розподілу.

При оцінюванні зовнішніх впливів на досліджуваний технологічний об'єкт часто необхідно визначити помилки вимірювання. Назвемо ю помилкою вимірювання різницю між дійсними значеннями вимірюваної величини і результатом вимірювання . Звичайно помилки вимірювання вважають випадковими, тому що вони зв'язані з незначними змінами властивостей вимірюваного середовища і приладів у ході вимірювання; у них немає погрішностей, зв'язаних з неточностями розрахунку або запису (грубих помилок) та зі зсувом нульової точки приладів (систематичних помилок). У противному випадку характеристики систематичних помилок (а можливо, і грубих) також повинні бути оцінені. Особливі складності виникають при оцінці впливів на об'єкт, що є елементом замкнутої динамічної системи.

Хоча зовнішні впливи на технологічний об'єкт оцінюються як випадкові, їх «випадковість» носить закономірний характер. Ця закономірність графічно зображується кривою розподілу, що зв'язує частоту зі значенням, що може приймати випадкова величина. При аналізі розподілу будують його гістограму, оцінюють її параметри, остаточно уточнюють тип розподілу (мал. 4.3).

При збільшенні числа спостережень і зменшенні ширини інтервалу гістограма (мал. 4.3, а) і полігон (мал. 4.3 ,б) наближаються до плавної кривої щільності розподілу (мал. 4.3, б), що називається емпіричною. Ця крива може бути апроксимована з тією чи іншою точністю теоретичної кривої, що відповідає визначеному виду теоретичного закону:

,

де частота появи випадкової величини в і-му інтервалі ,

- кількість вимірювань, що потрапили в і -й інтервал;

- загальне число вимірювань;

—імовірність появи випадкової величини .

При теоретичному законі розподілу частота появи даного значення відповідає імовірності цієї події. Якщо відкладати по осі ординат суми частот інтервалів побудованої гістограми, одержимо інтегральний емпіричний закон розподілу, що при зменшенні ширини інтервалу буде наближатися до теоретичного інтегрального закону розподілу. Для неперервної випадкової величини інтегральна функція розподілу відповідає площі під кривою лівіше ординати для даного .

Важливим законом розподілу випадкової величини є нормальний, або гауссовський, закон розподілу, що найбільше часто зустрічається на практиці. Крім того, нормальний закон розподілу є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при типових умовах.

Нормальний закон характеризується функцією розподілу ймовірностей виду

для . Нормальний розподіл визначається параметрами М(х) і , які називаються середнім і дисперсією. На мал. 4.4 показаний графік функції при М( х)=1 і різних значеннях .

Нормальна крива розподілу симетрична відносно вертикальної осі, що проходить через точку х = М(х), у якій має місце максимум кривої. Крива має дві точки перегину, що знаходяться на відстані від центра, і в обидві сторони від максимуму асимптотично зближається з віссю абсцис.

3.7. Математичне очікування випадкової величини

Для перевірки гіпотези нормальності емпіричного розподілу застосовують ряд методів, які базуються на так званих критеріях згоди. Реальні емпіричні розподіли найчастіше несиметричні і крім асиметрії мають ексцес. Розрізняють позитивну асиметрію (вершина зміщена уліво від центра) і негативну. Формули для визначення вибіркових асиметрії й ексцесу мають вид

де A - вибіркова асиметрія;

Е - вибірковий ексцес;

N — кількість даних вибірки; величина S визначається через вибіркову дисперсію (S²).

За дисперсіями і можна оцінити, чи суттєво вибіркові асиметрія й ексцес відхиляються від своїх математичних очікувань, тобто від нуля.

На практиці часто легше оперувати не законами розподілу випадкової величини, а числовими параметрами — математичним очікуванням і дисперсією, що несуть інформацію про характер розподілу. Перший параметр характеризує центр розподілу випадкової величини, другий — міру розсіювання щодо цього центра.

Припустимо, що результати експерименту допускають чисельну оцінку. Якщо при N іспитах величина отримана раз, ... , величина раз, так що +...+ , то середнє значення випадкової величини Х ( що позначається M(X), або ):

Якщо число експериментів N було досить великим, то відношення можна розглядати як імовірність одержання величини . При цьому, опускаючи індекси, вираз для визначення середнього значення можна записати у вигляді

.

Середнє значення М(X) часто називають математичним очікуванням випадкової величини X. Останній вираз може служити для визначення середнього значення у випадку, коли простір результатів експерименту Х є кінцевою множиною. Якщо ж Х — неперервна випадкова величина з густиною розподілу ймовірностей , то під р(X) можна розуміти імовірність того, що значення випадкової величини лежить у межах від Х до , тобто покласти . Переходячи до границі при і заміняючи відповідно на dХ, а суму на інтеграл, одержуємо

.

З приведених рівностей випливає, що математичне очікування дискретної випадкової величини Х дорівнює сумі добутків можливих значень, прийнятих випадковою величиною, на відповідні їм імовірності. Звідси випливає імовірнісний зміст математичного очікування — воно визначає координату центра групування значень, які приймає випадкова величина. Отже, математичне очікування є середнім значенням випадкової величини. Звідси в якості оцінки математичного очікування випадкової величини Х приймається середнє арифметичне її реалізації при п незалежних дослідах, проведених в однакових умовах:

.

Середнє арифметичне є незміщеною і спроможною оцінкою. Якщо похибки вимірювань підкоряються нормальному закону розподілу, то ця оцінка буде й ефективною. Припущення про нормальний характер розподілу похибок вимірювань на практиці в більшості випадків виправдано; це припущення приймають навіть тоді, коли невідомий закон розподілу випадкової величини.

Дисперсія оцінки середнього для незалежних відліків зменшується з ростом кількості дослідів п. На практиці звичайно обсяг вибірки невеликий, тому точність і вірогідність одержання оцінок відіграють істотну роль при трактуванні отриманих результатів.

Випадкова величина оцінки розподілена нормально при п>6 із середнім і . Тому, якщо отримана оцінка , ширину довірчого інтервалу можна виразити через різницю і знайти довірчу імовірність :

,

де — випадкова величина, що характеризує відносну погрішність, підкорена закону розподілу , який називається «розподілом Стьюдента».