3.12. Типові кореляційні функції.Спектри.

Розглянемо типові кореляційні функції, що дозволяють апроксимувати широкий клас процесів.

1. Кореляційна функція виду

.

Це найбільш простий вираз для кореляційної функції. Графічно вона виражається прямою лінією. Параметр визначається по одній точці :

.

Якщо відповідає точці перетину кореляційної функції з віссю , то .

2. Кореляційна функція виду .

3. Кореляційна функція виду ( близька до попереднього випадку).

4. Кореляційна функція виду .

Крім розглянутих кореляційних функцій, для моделювання вхідних впливів можуть використовуватися описи спектральних властивостей.

Застосування спектрального аналізу до тимчасових рядів дозволяє одержувати інформацію двох видів: величини відхилення від середнього рівня розглянутої змінної періоду або тривалості цих відхилень. Щоб одержати такого виду інформацію, треба виконати частотне перетворення тимчасових рядів. Спектральна функція визначається як перетворення Фур'є автоковаріації випадкового процесу :

.

Автоковаріацію можна знайти зі спектральної функції зворотним перетворенням. При одержимо формулу для дисперсії у вигляді інтеграла від спектра:

.

Отже, спектр можна розглядати як «декомпозицію» дисперсії процесу. Оцінку частотного спектра звичайно представляють у виді

,

де — середня оцінка спектра в смузі частот з центром ; - число оцінюваних частотних інтервалів.

Теоретично можна зобразити залежність спектральної функції від частоти ; на практиці одержують залежність оцінки від інтервалу частот . Природна інтерпретація частотного спектра полягає в тому, що смуга частот з більшою величиною спектральної функції може вважатися більш істотною в порівнянні зі смугою, що має меншу величину спектральної функції.

Лекція 4. Характеристика обробки експериментальних даних.

4.1.Особливості запису й обробки вимірювання вхідних впливів.

При проведенні досліджень зовнішніх впливів для визначення їх кореляційних і спектральних властивостей необхідно визначити тривалість і частоту виконання вимірювання. Якщо вибір частоти запису впливів виробляється по найбільш «швидкому» процесі з тих, котрі реєструються в даному експерименті, то вибір часу реєстрації проводиться за найбільш «повільним» із зареєстрованих процесів; можна вибирати час реєстрації, виходячи з найнижчої частоти випадкового процесу, яку необхідно визначити.

Похибки визначення спектральної густини залежить від часу реєстрації і різні для різних ординат спектральної густини. У тому випадку, коли вихідну реалізацію штучно повторюють з інтервалом Т і обчислюють спектральну густину за отриманою нескінченною, але періодичною реалізацією, відносна середньоквадратична помилка визначення спектральної густини рівна

.

Тут Т — час реєстрації; D [S* ( )] — дисперсія оцінки спектральної щільності.

Задавши допустиму величину помилки у визначенні ординат спектральної густини, що мають період , можна обчислити співвідношення .

Якщо, наприклад, на середньоквадратичній частоті випадкового процесу допустима помилка не більше 2 %, тобто , то , або виражаючи Т через середнє число нулів , отримаємо .

Аналогічне співвідношення можна одержати і для випадку, коли реалізація не повторюється. Таким чином, на досліджуваному відрізку реалізації для виконання умови 2% процес повинний перетнути лінію свого математичного очікування приблизно 125 разів.

Для вибору величини кроку дискретності за часом можна скористатися поняттям частоти зрізу випадкового процесу , тобто частоти, при якій і вище якої ордината спектральної густини процесу дорівнює нулю. У такому випадку при виборі кроку дискретності, рівного , не виникає ніякої додаткової помилки при обробці даних експерименту. Однак спектральна густина звичайно асимптотично прагне до нуля при і не має частоти зрізу. Крім того, найвищу частоту випадкового процесу за виглядом реалізації практично визначити неможливо.

Експериментальні значення вхідних впливів завжди записують у виді таблиці. Представлення випадкового процесу у виді таблиці його ординат, що знаходяться одна відносно одної на відстані , приводить до того, що замість дійсної спектральної густини знаходять спектральну густину дискретного випадкового процесу

,

де —частота транспонування. При цьому для процесів с монотонними спектральними густинами відносна похибка в діапазоні частот [ ] досягає максимуму при . Задавши максимальну величину , рівну, наприклад, 0,02, можна підрахувати крок дискретності за часом у залежності від частоти або середнього числа нулів . Так, можна рекомендувати вибирати крок рівним .

Якщо час між двома перерізами математичного очікування умовно назвати «напівперіодом» випадкового процесу, то потрібно вибирати крок так, щоб у середньому на такий «напівперіод» приходилося біля семи ординат таблиці, а всього для обчислень використовувати не менш 850 ординат випадкового процесу.