Лекція 1. Математичне моделювання в проектуванні і технології. Класифікація моделей.

Модель представляє об'єкт або систему у деякій формі, відмінної від форми їхнього реального існування. Вона служить засобом, що допомагає в поясненні, розумінні або удосконаленні системи. Модель якого-небудь об'єкта може бути точною копією цього об'єкта (хоча і виконаної з іншого матеріалу й в іншому масштабі), чи відображати деякі характерні властивості об'єкта в абстрактній формі.

Математичні моделі використовують при прогнозуванні поводження моделюючих об'єктів. На математичних моделях також виконують контрольовані експерименти в тих випадках, коли експериментування на реальних об'єктах практично неможливо через відсутність останніх, або виникаючої під час експериментів небезпеки (мережі енергопостачання, хімічні виробництва).

1.1. Математичне моделювання виробничих об'єктів і процесів.

Термін «математичне моделювання» охоплює методологічно мало зв'язані розробку моделі і її використання. Іноді моделюванням називається окремо кожний з цих двох етапів .

Вивчення властивостей об'єкта моделювання шляхом аналізу аналогічних властивостей його моделі являє собою процес моделювання. У залежності від характеру і складності тих чи інших явищ при їхньому вивченні можуть бути використані відповідні методи моделювання. Вибір методів визначається поставленою задачею.

Модель називається ізоморфною (однаковою за формою), якщо між нею і реальною системою спостерігається повна поелементна відповідність. Така відповідність є, наприклад, між негативом і отриманим з нього зображенням, кресленням і виготовленої по ньому деталлю, між процесами в реальній системі і рівнянням, що описує поводження цієї системи. Однак у багатьох випадках ізоморфні моделі виявляються складними і незручними для практичного використання, тому більш зручні моделі, що дозволяють судити тільки про істотні аспекти поводження реальних систем без їхньої деталізації. Приклад такої моделі — географічна карта по відношенню до зображеної на ній ділянки земної поверхні.

Моделі, окремі елементи яких відповідають лише великим частинам реальної системи, а повне поелементне співвідношення між моделлю і системою відсутнє, називаються гомоморфними.

Моделювання виробничого процесу складається в імітації виконання на елементах виробництва (устаткуванні, ділянках) операцій над продуктами (напівфабрикатами, заготівлями, сировиною і т.д.) шляхом зміни значень відповідних параметрів, що обчислюються. Значення деяких параметрів можуть бути функціями часу. Передача продукту від одного елемента до іншого моделюється передачею інформації про його параметри і зміну станів елементів.

Кожен елемент виробництва відображається окремою частиною математичної моделі, тобто загальна модель розбивається на блоки, що можуть збігатися з частковою математичною моделлю однієї з підсистем технічного об'єкта. Блоки зв'язані порівняно невеликим числом переданих параметрів. Звичайно технічний об'єкт розбивається на кінцеве число блоків, і кожний з них спочатку моделюється незалежно від інших.

Часткові моделі блоків потім зв'язуються на основі фактичної ієрархії технічного об'єкта. Декомпозиція і зв'язок блоків виконуються як у просторі, так і в часі, і цілком залежать від задачі розроблювача. Мірою якості отриманої таким чином моделі є в найбільш загальному випадку відсутність у ній внутрішніх протиріч і погодженість отриманих результатів з дійсністю, частину якої вони описують. При створенні основ такої моделі необхідно дотримувати наступного принципу: чим менше кількість елементів, за допомогою яких можна для рішення поставленої задачі описати дійсність, тим досконаліше модель. - . Формальне визначення моделі, як правило, будується теоретико-множинною мовою:

система називається математичною моделлю, якщо задане сімейство задач, , з множиною розв’язків ; для будь-якого елемента і , пара (х, у) належить системі S в тому і тільки в тому випадку, якщо існує елемент , що є розв’язком задачі .

Математичне моделювання включає наступні етапи:

- складання математичного опису процесу;

- створення алгоритму, що моделює досліджуваний процес;

- перевірка адекватності моделі досліджуваному процесу;

- використання моделі.

Складання математичного опису полягає у встановленні зв'язків між параметрами процесу і виявленні його граничних і початкових умов, а також у формалізації процесу у виді системи математичних співвідношень, що характеризують досліджуваний об'єкт (технологічний процес). Математичний опис складається на основі матеріальних і енергетичних балансів, а також фізичних законів, що визначають перехідні, чи які-небудь інші специфічні особливості процесу.

Для побудови математичних моделей технічних об'єктів використовуються фундаментальні закони фізики: збереження маси, енергії і т.д. Відповідно моделі записуються у виді звичайних диференціальних рівнянь, що відбивають матеріальний і тепловий баланси апаратів, зміни струму і напруги електричного кола і т.д. У систему математичного опису в загальному випадку можуть входити: алгебраїчні рівняння, звичайні диференціальні рівняння і рівняння в частинних похідних, емпіричні формули, логічні умови й ін. . -