3.5. Параметри випадкових зовнішніх впливів

Найважливішими питаннями, що виникають при обробці результатів іспитів діючих технологічних об'єктів, спрямованих на розробку математичних моделей, є визначення параметрів випадкових впливів на об'єкт. При цьому одержати точні значення параметрів, як правило, неможливо, тому що іспити не тільки відбуваються в умовах випадкових сигналів на входах і виходах об'єктів, але і супроводжуються погрішностями вимірів — шумами. Тому приходиться приблизно оцінювати значення цих величин.

Випадкові сигнали і шуми змінюються в часі і просторі. Відповідно до прийнятої термінології, випадкові функції однієї змінної, наприклад часу, називають випадковими процесами, а функції декількох змінних — випадковими полями. Реалізацією випадкового процесу є функція, що ставить у відповідність кожному часу t одне із можливих значень — випадкового процесу.

Методи математичної статистики дають можливість представити безліч результатів спостереження випадкового процесу в компактному, зручному для подальшого використання вигляді. Вони дозволяють виділити з множини спостережень істотну інформацію, представивши її у виді невеликого числа зведених показників. У той же час обробка декілька реалізацій випадкових процесів не дозволяє визначити точне значення імовірнісних характеристик. Кожна така сукупність випадкова, отже, випадкові і знайдені по ній величини, що є тільки оцінками невідомих характеристик зовнішніх впливів.

Існує безліч методів визначення оцінок випадкових процесів. Кожен метод дає можливість побудувати модель, адекватну процесу в тому чи іншому змісті, що залежить від обраного критерію. Застосовуючи безліч методів, можна одержати безліч різних оцінок. В якості оцінюваних величин можуть бути взяті математичне очікування випадкового процесу М{X (t)}, дисперсія випадкового процесу D {X {t)}, кореляційна функція .

Крім того, можуть оцінюватися параметри об'єктів, значення перехідних функцій або амплітудно-частотних характеристик, значення похідних або інтегралів, що фіксуються при наявності шуму, і т.п.

При побудові оцінки необхідно вибрати деякі вимоги, яким вона повинна відповідати:

1. Незміщеність. Оцінка не повинна містити систематичної помилки, що перебільшує чи зменшує значення параметра для усіх вибірок. Це означає, що математичне очікування оцінки повинне збігатися з дійсним значенням параметра. Якщо дійсне значення параметра позначити через , а його оцінку через , то вимога незміщеності запишеться у вигляді .

2.Спроможність. Оцінка повинна наближатися до значення параметра в міру збільшення обсягу вибірки. Через те, що оцінка є випадковою величиною, це наближення можливе лише в імовірнісному розумінні. Так, якщо позначити через оцінку , отриману по вибірці об’ємом n, то для спроможної оцінки повинне виконуватися співвідношення

при і будь – якому .

3. Ефективність. З усіх незміщених і спроможних оцінок варто віддати перевагу тій, котра виявляється найбільш близькою до оцінюваного параметра, а саме: великі відхилення при використанні різних вибірок зустрічалися б як можна рідше. Оцінки, що задовольняють цій вимозі, називаються ефективними. Математично вимога ефективності означає вимогу мінімальної дисперсії оцінки:

Незміщені оцінки є найбільш ефективними оцінками коефіцієнтів, які дозволяють також уточнювати значення досліджуваної величини.