4.5. Типи залежностей між змінними

Математичні моделі містять звичайно велику кількість числових параметрів (коефіцієнтів), деякі з яких визначаються відомими фізичними (хімічними й ін.) законами. Багато з коефіцієнтів характеризують лише даний технологічний процес (апарат, установку) і повинні уточнюватися експериментально.

При визначенні коефіцієнтів статичних моделей знаходять парні і множинні зв'язки змінних входів і виходів. Між двома змінними розрізняють чотири типи залежностей:

- між невипадковими змінними (залежність, що не вимагає для свого дослідження застосування статистичних методів);

- випадкової змінної у від невипадкової змінної х (досліджувана методами регресивного аналізу);

- між випадковими змінними у та х (досліджувана методами кореляційного аналізу);

- між невипадковими змінними, якщо обидві вони містять випадкові помилки вимірювання (досліджувана методами конфлюентного аналізу).

4.6. Визначення коефіцієнтів кореляції вхідних і вихідних величин.

Перш ніж приступити до обробки експериментальних даних, необхідно визначити, чи існує залежність між змінними х та у. Для цього користуються допоміжною випадковою величиною, що визначається через оцінку коефіцієнта кореляції :

розподіленої за законом Ст’юдента з n-2 ступенями свободи. Користуючись таблицею розподілу Ст’юдента, можна перевірити гіпотезу про наявність зв'язку.

Кореляційна модель складного процесу являє собою звичайну чи множинну кореляційну залежність між вхідними і вихідними випадковими змінними, що виражається звичайними чи множинними кореляційними рівняннями.

Ідентифікація складних процесів методом кореляційного аналізу дозволяє встановити існування кореляційних зв'язків між досліджуваними параметрами, оцінити ступінь зв'язку і визначити параметри кореляційних рівнянь, що описують виявлений зв'язок. Однак ефективність використання методу кореляційного аналізу зв'язана з дотриманням ряду вимог, важко здійсненних в умовах реального виробничого процесу. Одна з них— вимога багатомірного нормального розподілу для досліджуваних змінних. Кореляційний аналіз не дає відомостей про форму існуючого кореляційного зв'язку, порядок рівняння і вигляд кожного його параметра визначаються на підставі різних припущень і гіпотез. В обчислювальному відношенні кореляційний метод одержання моделей досить громіздкий, тому частіше використовується метод множинного регресивного аналізу.

Регресивний аналіз – це метод визначення коефіцієнтів моделі, найбільш відповідний набору експериментальних даних. Найкраща відповідність не означає, що модель повинна в точності збігатися з наявною вибіркою даних, тобто помилка (різниця між моделлю і будь-якою експериментальною точкою) не обов'язково повинна бути дорівнювати нулю. Під найкращою відповідністю розуміється ситуація, коли функція помилки, що є показником різниці між моделлю і даними, мінімізована. Такою функцією помилки звичайно служить сума квадратів помилок (різниць між виміряним значенням у даній точці і значенням, яке прогнозує модель).

Застосування методу регресивного аналізу правомірно при виконанні наступних умов:

1) результати спостережень являють собою незалежні нормально розподілені випадкові величини;

2) фактори виміряються з деякою невеликою помилкою в порівнянні з помилкою у визначенні і некорельовані один з одним;

3) оцінки дисперсій значень вихідного параметра , отриманих при однакових умовах (в паралельних дослідах), повинні бути однорідними.

До цих умов можуть приводити ситуації, коли залежить не тільки від х, але і від ряду неконтрольованих факторів.

При регресивному аналізі визначається функціональна залежність середнього значення у від х:

М[у(х)] = f (х, ).

Вигляд функції передбачається відомим, і за заданими результатами спостережень потрібно знайти оцінки для невідомих параметрів .