2.4. Моделі розподілені і зосереджені в просторі.

Технологічний процес може бути розподіленим чи зосередженої в просторі й одночасно змінюватися в часі. Моделі, що описують розподілені процеси, називаються моделями з розподіленими параметрами. Звичайно вони мають вигляд диференціальних рівнянь у частинних похідних. Якщо основні змінні процесу не змінюються в просторі, а тільки в часі, то математичні моделі, що описують такі процеси, називають моделями з зосередженими параметрами і представляють їх у виді звичайних диференціальних рівнянь.

Якщо процес розвивається одночасно і в часі, і в просторі, то оператор А може перетворювати вхідну векторну функцію у вихідну векторну функцію і залежати від обох аргументів:

.

Приклад 10. Розглянемо твердий брус, що нагрівається з однієї сторони й ізольований з іншої. Співвідношення між температурою, часом і відстанню від точки нагрівання описується диференціальним рівнянням у часткових похідних

,

де а — коефіцієнт температурної провідності.

Температура в цьому рівнянні є функцією двох змінних: часу і відстані , тобто в будь-який момент часу t_і температура змінюється зі зміною відстані чи, навпаки.

2.5. Моделі неперервні і дискретні в часі; неперервні і дискретні за величиною.

Неперервною в часі модель є в тому випадку, коли змінна, що її характеризує визначена для будь-якого значення часу; дискретною в часі — якщо змінна отримана лише у визначені моменти часу. Неперервний у часі процес визначається моделлю

Y=A{t),

де може приймати будь-яке значення.

Дискретний у часі процес визначається моделлю

,

де .

Так, якщо сигнал х(t) деякого компонента системи визначений тільки в моменти часу , ... , то такий дискретний сигнал при моделюванні записують у виді послідовності ( ). Дискретність моделі може також виникнути в тому випадку, якщо вона складається з неперервних компонентів, але інформація переходить від одного компонента до іншої за заданою схемою (такі переходи можливі тільки по закінченні відповідних операцій). Неперервні моделі застосовуються при вивченні систем, зв'язаних з неперервними процесами, що описуються за допомогою систем диференціальних рівнянь, що задають швидкість зміни змінних системи в часі. Неперервні моделі можна описати за допомогою кінцево - різницевих рівнянь, які в границі переходять у відповідні диференціальні рівняння. При цьому програмування неперервних моделей зводиться до дискретної обчислювальної задачі, яку можна символічно записати у вигляді рівняння

,

де відповідно вектори стану системи з компонентами, визначеними в усі попередні моменти часу; х (t) — вектор поза системних змінних; — вектор параметрів системи; g - функція, що визначає поведінку системи.

Кінцево-різницеві рівняння (лінійні і нелінійні, стаціонарні і нестаціонарні, рівняння першого і більш високого порядків, одномірні і багатомірні) дозволяють описати найрізноманітніші динамічні системи як з дискретним часом, так і в границі, з неперервним, тобто це досить універсальний метод моделювання.

Лінійне кінцево-різницеве рівняння високого порядку завжди можна замінити системою кінцево-різницевих рівнянь першого порядку, виражених у формі Коші, тобто розв'язуваних відносно перших різниць. Це привело до того, що як найбільш загальний вид представлення математичного опису стали широко використовуватися кінцево-різницеві моделі у формі Коші. Стаціонарна лінійна система може бути описана моделлю в стандартній формі:

де — відповідно вектори відгуків, змінних стану і керуючих вхідних сигналів.

Матриці Ф, G і Н не залежать від моменту часу, тобто є постійними. Вони можуть включати невідомі параметри моделі, що підлягають оцінюванню. Приведену модель називають також канонічною формою моделі стаціонарної лінійної системи з дискретним часом. Якщо система нестаціонарна, то матриці Ф, G і Н будуть залежати від .

Дискретизація можлива не тільки за аргументом — часом, але і за рівнем (величиною) сигналів. У цьому випадку сигнали мають кінцеве число значень у деякій заданій області існування. Подібні сигнали називають дискретними за величиною або квантованими. І, якщо неперервному скалярному сигналу відповідає плавна крива, то квантованому скалярному сигналу відповідає кусково-постійна лінія.

Системи (моделі), у яких вхідні і вихідні сигнали є неперервними за часом і за величиною, називають неперервними. Якщо ж вхідні і вихідні сигнали дискретні за часом, то системи називають системами з дискретним часом або імпульсними. Системи, у яких вхідні і вихідні сигнали дискретні чи за часом, чи за величиною, називають дискретними.

Існують також і системи проміжного типу, у яких властивості сигналів як функцій від часу різні. Наприклад, частина сигналів може бути неперервною в часі, тоді як інші сигнали можуть бути дискретними. Така система називається неперервно-дискретною за часом.