2.3. Лінійні і нелінійні моделі.
Лінійність або нелінійність аналізованого процесу впливає на вид моделі, метод програмування і швидкодію програми при її виконанні на комп'ютері. Завдяки простоті лінійні моделі широко застосовуються розробниками, хоча більшість природних і промислових процесів — нелінійні. Прикладом лінійної моделі є залежність між напругою і силою струму в електричному колі, хоча це справедливо в обмеженому діапазоні струмів і напруг.
Лінійність або нелінійність стосовно вхідних сигналів — це не та ж саме, що лінійність або нелінійність вихідних змінних (функцій) за параметрами. Оператор А{ } і задана ним модель називаються лінійними, якщо для системи справедливий принцип суперпозиції. Він полягає в тому, що лінійній комбінації довільних вхідних сигналів ставиться у відповідність та ж лінійна комбінація сигналів на виході із системи:
.
Математичну модель з використанням лінійного оператора можна записати у вигляді
.
Нелінійні рівняння, у свою чергу, можна розділити на два підкласи: алгебраїчні (у яких над змінними виконуються тільки дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення в степінь з раціональним показником) і трансцендентні, у яких входять інші функції від змінних (показникові, тригонометричні и ін.).
В будь-якому випадку складність моделі істотно залежить від числа рівнянь і від виду вхідних функцій. Звичайно найбільш просто розв'язуються алгебраїчні рівняння 1-го степеня (лінійні), найбільш складні - трансцендентні.
Приклад 8. Прикладом лінійного рівняння є залежність тиску на дні посудини, заповненої рідиною, від рівня рідини в посудині:
де
— тиск на поверхні; Р —
тиск на глибині h;
— питома вага рідини.
Залежність Р
від h є
прямою лінією. При будь-якому рівні h
зміна його
буде викликати відповідну пропорційну
зміну тиску
.
Більш складним прикладом
лінійної моделі може служити модель
міжгалузевого балансу. Якщо припустити,
що в народному господарстві деякою
галуззю k випускається
продукт і
в кількості
,
то частина продукту
йде для виробництва продукту
,
а частина
-
в якості кінцевого продукту для
безпосереднього використання.
Умова балансу виробництва — споживання продукту і в галузі k виражається рівнянням
при
,
де
-
кількість продуктів;
—
коефіцієнт прямих витрат.
На практиці кількість продуктів і рівнянь, за якими ведеться розрахунок, складає кілька сотень, тому рішення таких задач вручну одержати дуже важко.
У моделях виробничих процесів, крім рівнянь, можуть бути також і нерівності.
У математичних моделях часто використовується ряд нелінійних математичних структур, у першу чергу, це степеневі поліноми. Методи інтерполяції дають можливість істотно спростити способи розрахунку коефіцієнтів степеневого полінома (інтерполяційні поліноми Ньютона, Гаусса, Лагранжа і т.д.). Найбільше часто використовують ті ортогональні поліноми, для яких легко знайти розв’язок у явному вигляді. Такими є, наприклад, поліноми Чебишева, які використовуються для проміжку [-1, +1].
Кожна з математичних структур має свою специфіку, що і визначає область її застосування при моделюванні. Інтерполяційні поліноми використовуються для об'єктів з відомими точними даними про значення вхідних і вихідних параметрів.