2.1. Стаціонарні і нестаціонарні моделі.

Якщо властивості перетворення вхідних сигналів (функцій), тобто структура і властивості оператора А{}, не змінюються з часом, то систему і її модель називають стаціонарною; у противному випадку — нестаціонарною. Реакція стаціонарної системи на будь-який заданий тип збурення залежить тільки від інтервалу часу між моментом початку дії вхідного збурення і даним моментом часу, тобто властивість стаціонарності означає, що процес перетворення вхідних сигналів (функцій) інваріантний щодо зміщення вхідних сигналів у часі. Реакція нестаціонарної системи залежить як від поточного часу, так і від моменту прикладення вхідного сигналу. У цьому випадку при зміщенні вхідного сигналу в часі (без зміни його форми) вихідні сигнали не тільки зміщуються в часі, але і змінюють свою форму.

До стаціонарних моделей можна звичайно віднести і моделі одномоментні, які використовуються у тих випадках, коли моделюється система, для якої необхідно одержати якесь рішення у визначений момент часу. Прикладом можуть бути системи керування запасами матеріалів, у яких одномоментні моделі застосовуються скрізь (визначення однократного обсягу замовлення на поповнення запасів або часу подачі замовлення).

Частковим випадком стаціонарних моделей є моделі статичні, котрі включають опис зв'язків між основними змінними процесу в установлених режимах (у рівноважному стані без зміни в часі). Наприклад, математичний опис статики технологічного процесу складається звичайно з трьох видів рівнянь: матеріального і теплового балансів, термодинамічної рівноваги системи (характеристика рушійної сили) і швидкостей протікання процесів (хімічних реакцій, тепло - і масопередачі і т.п.). Для розрахунку повільних процесів чи процесів, що протікають з невеликими відхиленнями від стабільних умов, приймається припущення, що дозволяє вважати процес установленим.

Стаціонарні математичні моделі (крім статичних) звичайно складаються з диференціальних рівнянь, статичні моделі — з рівнянь алгебраїчних.

2.2. Динамічні моделі

Динамічні моделі дозволяють розрахувати стаціонарні чи нестаціонарні режими технологічних процесів і інших об'єктів. Стандартні динамічні моделі включають наступні змінні і співвідношення між ними:

вектор незалежних перемінних X; додаткову незалежну перемінну t, названу часом, хоча вона може не представляти фізичну тимчасову розмірність; вектор невідомих параметрів ; вектор змінних Y стану системи, що є функціями від t, Х и . Ці функції, наприклад, визначаються неявно за допомогою системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

,

де X — вектор заданих функцій,

і системи початкових умов . Тут — вектор заданих функцій.

Стандартні динамічні моделі характеризуються множиною змінних стану системи, що змінюються з часом (чи в залежності від деякої іншої незалежної змінної) відповідно до певних диференціальних рівнянь першого порядку. Початкові умови можуть бути відомі цілком або частково. Невідомі параметри можуть з'являтися в початкових умовах або у диференціальних рівняннях.

Якщо в моделі об'єкта містяться диференціальні рівняння порядку вище першого, складність їхнього аналізу зростає з ростом порядку рівняння (чи з ростом числа диференціальних рівнянь у системі, оскільки рівняння m-то порядку можна перетворити в систему з m рівнянь 1-го порядку). Інші труднощі, що виникають іноді при аналізі систем диференціальних рівнянь, зв'язані з особливостями задання початкових умов. Найчастіше початкові умови задаються при тому самому значенні незалежної змінної.

Задачі з початковими умовами, заданими таким чином, називаються задачами Коші.

Але зустрічаються задачі, у яких різні початкові умови задані в різних точках. Наприклад, у багатьох апаратах із протитоком частина умов може бути задана з боку входу одного потоку, частина — з боку входу іншого. Такі задачі називаються крайовими. Крайову задачу іноді вдається звести до задачі Коші за допомогою додаткових рівнянь (наприклад, рівнянь робочої лінії), або з допомогою застосування спеціальних розрахункових прийомів — ітерації та ін.

Стан системи можна представити як точку з координатами у деякому m- мірному просторі, який називається фазовим простором або простором станів. Ця точка називається зображуючою. Зміні стану системи відповідає деякий рух зображуючої точки у цьому просторі. Шляхом зображуючої точки при цьому є інтегральна крива системи. Ця крива називається фазовою траєкторією.

При побудові фазового простору домагаються взаємно однозначної і неперервної відповідності між станами системи і точками фазового простору, тобто кожному стану системи повинна відповідати одна і тільки одна точка фазового простору, а кожній точці фазового простору — однин і тільки один стан системи. При цьому близьким станам системи повинні відповідати близькі точки фазового простору. У силу цих вимог фазовий простір не завжди може бути звичайним евклідовим m- мірним простором.

Приклад 5. Фізичний маятник, стан якого характеризується кутовою швидкістю і кутом відхилення від стану стійкої рівноваги. Рівняння руху маятника при відсутності опорів

; ,

де визначається конструкцією маятника. Фазовий простір у даному випадку двомірний. Якщо прийняти, що він є площиною, на якому осі і — відповідно осі абсцис і ординат, то стани системи з однаковими кутовими швидкостями і зі значеннями при довільному а і як завгодно малому будуть як завгодно близькі. Однак відповідні їм точки площини будуть знаходитися одна від іншої на відстані , яка при не прямує до нуля. При такому виборі фазового простору порушена як вимога взаємної однозначності, так і вимога неперервності відповідності стану системи точкам фазового простору. Щоб задовольнити цим вимогам, необхідно взяти за фазовий простір циліндричну поверхню з віссю S, спрямованої по твірній, і з кутовою координатою .

Приведені вище рівняння для малих коливань маятника перетворяться в диференціальні рівняння другого порядку

де а — постійний множник.

Аналогічно аналіз процесів в електричному коливальному контурі зводиться до дослідження диференціального рівняння

,

де q — миттєве значення заряду на обкладках конденсатора. З останнього рівняння можна одержати всі відомості про досліджуваний процес, наприклад, період електричних коливань

.

З порівняння диференціальних рівнянь маятника і контуру випливає, що вони по суті однакові. Таким чином, зовсім рівні явища можуть описуватися моделями у виді диференціальних рівнянь того самого вигляду, а саме — диференціальними рівняннями другого порядку

Тут у — узагальнена координата, що визначає стан руху системи; — коефіцієнти, що залежать від параметрів системи. У випадку маятника узагальненою координатою є кут відхилення від вертикалі, у випадку коливального контуру — заряд конденсатора.

Приклад 6. Нехай сфера радіусом R і масою М вільно падає в нестисливій Ньютонівській рідини в'язкості . Сила ваги, яка діє на сферу, дорівнює g{M — }, де — маса рідини, що витісняється сферою. Відповідно до закону Стокса гальмування, що перешкоджає руху сфери (коли цей рух повільний), дорівнює , де V — швидкість падіння сфери. Перший закон руху Ньютона набуває вигляд

,

де прискорення. Рівняння можна переписати так:

,

де , . Таким чином, одержуємо стандартну динамічну модель.