Числа подобия

. Константы подобия имеют одинаковое значение для конечных и бесконечно малых величин.

Пусть длины двух отрезков прямой линии /' и I" связаны между собой константой геометрического подобия С;. Если взять части "этих отрезков 1[ и 1\, отвечающие константе С_г, то

V 1[ ~~ ¹ ~V-1[~ д/' '

После перехода к пределу получаем

. . С_г = dl"ldl'.

Следовательно, константа подобия определяет связь не только между сходственными параметрами, но и между конечными и бесконечно малыми приращениями этих параметров.

Рассмотрим правило выбора констант подобия на конкретном \ примере. Для этого воспользуемся дифференциальными уравнениями теплоотдачи (26-4). Это уравнение для сходственных точек двух подоб­ных между собой систем запишется так:

. для первой системы

«' =-- — (Г/ДГ) {dt'/dri), (а)

, для второй системы

а" = ^ (Г/ДГ) (дГ/дп"). (б)

Обозначим константы подобия: -

С„ = а7а'; С_% = k"lk'; C_t = Дг'УДг'; С, =-п"1п' = Г/1', (в)

где / — характерный размер системы.

Из определения констант* подобия следует, что

а" = С_иа'; к" = С^к'; At" = C_tAt'; t" = C_tt'; п" = C_tn'.

Подставив эти выражения в уравнение (б) и сократив на С„ по­лучаем

С_к к' di'

С_аС_г АС дп'

(г)

Уравнения (а) и (г) тождественны, так как сни выражают связь между параметрами процесса, обусловленную дифференциальным урав­нением теплоотдачи для одной и той же точки системы. Из условий тождественности уравнений следует-, что

»■

= 1=С ' 00 '|

Это и есть связь между константами подобия, полученная из урав- " нения (26-4). |

!В Из уравнения (д) видно, что выбор комплекса констант подобия ограничен условием: любая их комбинация должна быть равна еди­нице. Величину С называют индикатором подобия. \ Заменив значения констант подобия в уравнении (д) из уравнений "(в),' получаем -' (а'Г)А' = (а'7")А".' (е) Следовательно, существуют такие безразмерные соотношения пара­метров, характеризующих процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют численно одинаковые значения. Эти безразмерные соотношения называют числами подобия. Числа подобия принято называть именами крупных ученых, из­вестных своими работами в области теплообмена и гидродинамики. Записанное уравнением (е) число называют числом Нуссельта и обоз­начают Ми. . Равенство (е) можно представить в виде . Ыи = (сс/)А =Мс1ет.

\ Если имеется отношение двух каких-либо однородных величин, ! то оно называется симплексом. Однородными называют физические ве­личины, имеющие одинаковое физические содержание и размерность. ; Произведение чисел и частное от их деления также представляют I собой числа подобия. Для характеристики подобия явлений можно

применять константы подобия и числа подобия. Константы подобия ^сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, но ^они остаются одинаковыми для всех сходственных точек рассматри­ваемых систем. Числа подобия сохраняют свое числовое значение [в сходственных.точках всех подобных между собой систем, но в-раз-? личных точках одной и той же системы они могут иметь разные число-:-вые значения. .

Безразмерные числа подобия представляют собой новые перемен-^Ные, введение которых значительно уменьшает число величин под ^.знаком функции. Количественная связь между'числами подобия опре-* деляется опытным путем.

Указания о том, в каком направлении нужно вести эксперимент, ;_; даются теориями размерностей и подобия.

Обе теории позволяют получить искомые связи между физическими ? величинами для исследуемых" явлений в виде зависимостей между г безразмерными комплексами, составленными из этих физических ве- \ личин. Однако исходные предпосылки и методы получения безразмер- Гных комплексов различны. , ,

Теорию размерностей применяют тогда, когда уравнения связи I неизвестны, когда рассматривается новый и сложный процесс, для

которого аналитического описания еще нет. В этом случае необходимо : наличие полного списка величин, существенных для исследуемого ^явления без составления дифференциальных уравнений и условий ;'.однозначности. Располагая этим списком размерных величин, можно ^находить безразмерные комплексы и составлять уравнения подобия. Ш .этом состоит большое значение ^теории размерностей. Слабой сто­

роной этой теории является возможность получения неточных или даже ошибочных решений, если не взяты все величины, которые харак­теризуют .рассматриваемое явление, и когда физическая сущность явления еще полностью не ясна.

Теория подобия может применяться, тогда, когда не только из­вестен список необходимых величин для исследуемого явления, но я имеется система дифференциальных уравнений, которая устанавли­вает взаимную связь между физическими величинами, участвующими в явлении. Эти уравнения должны быть сформулированы для того •частного случая, который является объектом исследования. Присое­динение к ним условий однозначности делает исследование опреде­ленным и позволяет применять теорию подобия. Поэтому во всех слу­чаях, когда уравнения связи могут быть найдены, метод анализа урав­нений есть единственно правильный путь применения теории подобия. Таким образом, достоинством теории подобия является надежность решений, полученных при ее применении. Она будет такой же, какой является надежность решений^ получаемых чисто аналитическим путем.

Однако обе теории требуют тщательной проверки полученных ре­зультатов путем постановки специальных экспериментов.