Глава XXV

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

§ 25-1. Основные положения

Если температурное поле меняется во времени, то тепловые про­цессы, протекающие в таких условиях, называют нестационарными.

Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при ох­лаждении металлических заготовок, прокаливании твердых тел, в про­изводстве стекла, обжиге кирпича, нагревании дерева, при вулканиза­ции резины,*нагревании мешков" муки и т. п.

Передачу теплоты при нестационарном режиме можно определить, если найти закон изменения температурного поля и теплового потока во времени и в пространстве:

/=*='/ (х, У, г, х) и Q = ф (х, у, г, т),

где х, у, г — координаты точки; т — время.

Указанные зависимости могут быть найдены из решения дифферен­циального уравнения теплопроводности Фурье:

+«^4. ' (25-1)

Эт \дх² ду* дг² J V

При решении уравнения (25-1) необходимо задать граничные усло­вия и начальное распределение температуры в теле. Граничные условия задаются уравнением

(dt/dn)_a0B = — (aA_0T)(/_n0B — /_Среды). (25-2)

где (дИдп)_а0в — градиент температуры на поверхности; а — коэффи­циент теплоотдачи между жидкой средой и поверхностью твердого те­ла; А,_ст — коэффициент теплопроводности стенки; /_пов — темпера­тура поверхности стенки; /_среДы — температура окружающей среды.

Физические величины А; с, р считаются постоянными.

Температура рассматриваемого тела в начальный момент времени при х = 0 распределена равномерно, т. е.

t₀ — const.

Решение уравнений (25-1) и (25-2) с учетом граничных и временных условий дает уравнение температурного поля вида

t = f (a, к, а, х, х, у, z, t₀, /_ор, 1₀, к, к)- (25-3)

Из уравнения (25-3) видно, что температура зависит от большого числа переменных и постоянных параметров и решение его представляет весьма сложную математическую задачу, изложение которой" в крат­ком учебнике невозможно.

Подробное изложение решений .имеется в специальных курсах по теплопередаче. Поэтому в дальнейшем ограничимся приведением гото­вых расчетных формул только для трех задач: неограниченной пласти­ны, цилиндра бесконечной длины и шара.

При анализе уравнения (25-3) оказывается, что переменные можно группировать в три безразмерных комплекса:

— = Ві — число Био;

-^- = Ро—число Фурье; -у—безразмерная координата.

Искомая функция в виде безразмерной температуры ^- может быть редставлена следующим уравнением:

±.-/>(Ро,В1,-1). (25-4)

§ 25-2. Неограниченная пластина

■ Рассмотрим охлаждение плоскопараллельной пластины толщиной. :б (/ = б). Размеры пластины в направлении осей Оу и Ог бесконечно ■елики (рис. 25-1). Пластина омывается с обеих сторон жидкостью или азом с постоянной температурой г_ср, причем коэффициент теплоотдачи ; для обеих поверхностей имеет одинаковое и постоянное значение.

Граничное условие при х = ± б

[ начальное условие при т

* Здесь и дальше под # понимается избыточная емпература тела, отсчитанная от температуры окру­жающей среды, и т\.е. # = ;_тепа /средн-

В начальный момент времени пластина имеет во всех своих точках юстоянную температуру /₀, поэтому-и избыточная температура ■Зу= = /₀ — /_ср будет также постоянной для всех точек тела. Кроме того, аданы коэффициент .теплопроводности Я_ст, плотность тела р "и тепло-мкость его с, величины которых полагаются постоянными. Коэффи-1иент температуропроводности а определяется по уравнению а = = Я/ср. Так как пластина безгранична как по ;ысоте, так и по ширине, то дифференциальное 1^ 'равнение принимает вид