Теореме! подобия

В основу теории подобия физических явлений положены три теоре­мы. Две первые из них говорят о явлениях, подобие которых заранее известно, и формулируют основные свойства подобных между собой явлений. Третья теорема обратная. Она-устанавливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу.

Первая теорема подобия для подобного течения двух жидкостей была высказана И. Ньютоном в 1686 г. Однако строгое доказательство теоремы было дано Ж. Бертраном в 1848 г.

В своем доказательстве Бертран исходил из самого общего уравне­ния механики, даламберова начала:

где А, У, с — проекции сил, действующих на массу;

^ и т. д. — проекции их ускорений.

Однако вместо формул аналитической механики за исходное урав­нение можно взять второй закон Ньютона.

Предположим, что .имеется случай подобного движения двух Меха­нических систем. Оба явления описываются одним и тем же уравнением

/' = т —, (а) . ■ '. Г = /п"-^. (б)

I Существование подобия, между явлениями налагает на них сле-|. дующие условия:

| Г = С,Г, т" = С_т т'; w" = C_w w'; х" = С_тт/. (в)

Подставив выражения для величин второго явления через велй-ь- чины первого из (в) в уравнение (б), получим

Таким образом, имеются два уравнения (а) и (г), связывающие меж­ду собой одни и те же величины f',m', w', т/. Эти уравнения тождест-; венны, а' из условий тождественности следует, что

^; £r-=c=i. (д)

• Для подобных явлений индикатор подобия равен единице.

Равенство (д) представляет собой математическое выражение пер-;■ вой теоремы подобия, которая гласит: У подобных явлений индикаторы к подобия равны единице.

Если в равенство (д) подставить значения величин из выражения (в), то получим .

f/%' _ j," %" т'w' т" w"

Это равенство указывает, что число подобия fx/mw одинаково для

всех подобных между собой явлений. ■ Полученное число названо начальными буквами имени Ньюто-; на — Ne.

Следовательно, равенство можно представить в виде jVe = (fx)/ (mw) = idem.

у ' Первая теорема может быть сформулирована еще и так: у подоб-trHbix* явлений числа подобия численно одинаковы. ' J Таким образом, первая теорема подобия устанавливает связь I- между константами подобия и позволяет вывести уравнения для чи-", сел подобия. Теорема указывает, что при выполнении опытов необ-)■ ходимо и достаточно измерять лишь те величины, которые входят Г в числа подобия изучаемого явления.

г Вторая теорема подобия была доказана в 1911 г. русским ученым | А. Федерманом й в 1914 г. американским учеИым Е. Букингемом. » Из предыдущего изложения можно сделать заключение, что необ-| ходимой предпосылкой для вывода чисел подобия является наличие | аналитической зависимости между физическими величинами, харак­теризующими данное явление (например, уравнение движения). I Если уравнение дано в дифференциальной форме, то нахождение чисел I подобия не связано с его интегрированием. Например, числа Nu и Ne г.были получены непосредственно из дифференциальных уравнений без | их интегрирования. Особую ценность приобретает возможность полу­чения чисел из дифференциальных уравнений, когда последние не интегрируемы.

Вторая теорема подобия гласит:, если физическое явление описы­вается системой дифференциальных уравнений, то всегда существует возможность представления их в виде уравнений подобия, или интег­рал дифференциального уравнения (или системы уравнений), может быть представлен как функция чисел подобия дифференциального уравнения.

Вторая теорема утверждает, что операция интегрирования не из­меняет вида чисел подобия. Например, уравнение скорости частицы жидкости w = dlldx и уравнение после интегрирования, если за пе­риод времени т скорость сохраняет свое значение, w = Их дает воз­можность получить одно и то же число гомохронности Но:

Но = (wx)ll = idem. .

Из второй теоремы подобия следует, что если результаты любого эксперимента обработать в числах подобия, то зависимость между ними необходимо выражать в виде уравнения подобия. Уравнением подобия называют такое уравнение, которое любую зависимость между величинами, характеризующими данное явление, представляет зави­симость между числами подобия К и Кг, К₃, К_п или

■ f(Ki, K_t, К₃, К„) = 0. .

Третья теорема подобия устанавливает необходимые условия для того, чтобы явления оказались подобными друг другу. Формулировка ее была дана М. В. Кирпичевым и А. А. ГухманоМ, а доказательство теоремы — М. В. Кирпичевым в. 1933 г.

Третья теорема исходит из предположения, что явления протекают в геометрически подобных системах (поэтому геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия), что для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, что установлено существование и единственность решения уравнения при заданных граничных условиих, что известны числен­ные .значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение.

Совокупность всех перечисленных условий называется условиями однозначности явления. Условия однозначности выделяют из всей группы явлений, описываемых дифференциальным уравнением, одно единственное конкретное явление. Значит, подобие условий однознач­ности есть второе необходимое условие подобия.

Дополнительным условием подобия является равенство чисел по­добия, составленных из одних только величин, входящих в условия однозначности. Такие числа подобия называют определщщими. Если два явления имеют подобные условия однозначности,, то их числа по­добия одинаковы. Числа подобия, в котррые входят искомые вели­чины, называют определяемыми. Третья теорема утверждает, что добав­ление третьего дополнительного условия к предыдущим достаточно для того, чтобы явления оказались подобными.

Таким образом, третья теорема подобия может быть сформулиро-. Цана следующим образом: подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условий однознач­ности,' численно одинаковы.

Если условия однозначности подобны и определяющие числа подо-Ция численно равны, то это влечет за собой равенство всех остальных ||п редел яемых чисел подобия. Следовательно, каждый из определяе-Щмых чисел подобия есть однозначная функция совокупности определя-тщих чисел подобия. Этот вывод имеет важное значение для обобщения Цданных' опыта.

Теория подобия дает общие методические указания, как поступать |в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих |явление, устанавливает пути для правильной постановки опыта и Йает указания по обработке полученных результатов. Вследствие это-|го, например, проведение эксперимента и обработка результатов опыт­ного изучения такого сложного процесса, как конвективный тепло-гобмен, становится на научную основу, а результаты исследования ■получают значительную теоретическую и практическую ценность. Теория подобия-устанавливает также условия, при которых результаты ^экспериментальных исследований можно распространить на другие явления, подобные рассматриваемому. Если же дано конкретное яв­ление и его хотят исследовать на модели, то теория подобия содержит -методические указания по расчету и построению модели, подобной натуре. В заключение можно сказать, что теория подобия является научной основой проведения экспериментов по изучению процессов "теплообмена, и обобщения результатов опыта.

§ 26-4. Приведение дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и условий однозначности к безразмерному виду

Для практического применения теории подобия в случае конвек­тивного теплообмена, описываемого.системой дифференциальных урав­нений и условиями однозначности с большим количеством переменных, необходимо прежде всего знать числа подобия, которые войдут в урав­нения подобия.

Система дифференциальных уравнений, в которую входят диффе-'ренцальные уравнения теплообмена между твердым телом и внешней ^;средой, энергии, или теплопроводности, в движущейся жидкости, движения вязкой несжимаемой жидкости (или уравнение Навье — Стокса) и сплошности, позволяет выявить структуру этих чисел.

Указанная система уравнений вместе с условиями однозначности дает полное математическое описание явления теплоотдачи, но ана­литическое решение этой системы наталкивается на большие труд­ности. Эти трудности помогает разрешить теория подобия, которая позволяет объединять размерные физические величины в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин, составляющих эти комплексы. Это значительно упрощает .исследование физических процессов. Полученные безразмерные ком­плексы можно рассматривать как новые переменные.

Таким образом, для получения чисел подобия применяют следую­щие уравнения:

уравнение движения вязкой жидкости Навье — Стокса

! дхй)у , дш_х , дт_х , дт_х ^х--^,-0)_х -+да„ — + ьи

д% дх ^у ду ' дг

д^гте>_х

. I д^гт_х , д^гт_х , Ъ^ътв_х \ ,_пс. , ₀ч

⁺ П^ ⁺ -^г-⁺-йГ-> ' ⁽²⁶'¹²⁾

(в целях сокращения выкладок уравнения Навье — Стокса дается только для оси х);

уравнение сплошности для несжимаемой жидкости

^₊_^ ₊ _^£. = ₀; (26-13) дх ду . дг ^К '

уравнение энергии потока жидкости

— + + — — + _ + _); (26-14)

уравнение теплообмена на границе твердого тела с окружающей средой

осД/ = — к (д(/дх)_с?. (26-15)

Напишем уравнения для двух подобных систем. .

Процессы, протекающие в первой системе, описываются уравнения­ми (26-12) — (26-15). Процессы, протекающие во второй системе, описываются теми же уравнениями, что и процессы в первой системе, но сходственные величины имеют индекс ('). Тогда

, / дш'_х , дш'_{х 1} дш'_х , дт_х

до' ' I д²ш'_г д²и)'_г д²т'_г \ да)'_г дш' дт'

^ _{+ т}'_я^ + _т^+^^ = а(^ + ^ + ^\ (26-18)

от' дх' * ду' дг' \ дх'² ду'¹ дг'²) ^v '

а'АГ =— к'(д1'1дх')_ст. (26-19)

На основании подобия процессов сходственные величины для обеих систем связаны попарно множителями подобного преобразо­вания: *

х'/х = у'/у = г'1г = С,; т7т = С_т; 1ю'_х1хю_х = и>'_и/а>„ = т'_г1^_г = С_ш; р'/р = С_р; = С_е; р'/р = С_р; р7р = С_ц; а'1а = С_а; Дг7Дг = Г И = С,; к'/к = С_Л; ос 7а = С_а.

|: Выразим все переменные в уравнениях (26-10) — (26-19) второй

{системы через переменные первой системы и множители подобного ^преобразования:

* ^СР ^Сш „ С С I д_т д_т

► ■ р —— -\ - Р \Щ—- + ьи_и—- + ьи_г—-

? С_т бт С; V дх ^и ду ² дг

^{Р е}*^ёх С_г дх С* * { дх* ^{Т Т} дг² )'

(26-20)

^(^₊*Ь. ₊ А) _{= 0}; (26-21) ■ С, \ дх ду . дг ) ^v '

^ст дт С; \ дх ду дг

С_аС_гаЫ= ^-±-А,_. (26-23)

В результате преобразования обе подобные системы выражены через переменные первой системы. В обе системы входят одни и те же .переменные, которые-определяются одинаковым образом. Это возмож­но только в случае тождественности уравнений (26-12) — (26-15) и ' (26-20) — (26-23). Из условий тождественности уравнений следует, что комплексы, составленные из множителей подобного преобразова­ния, должны быть равны между собой:

Группируя члены этого соотношения по два, получаем:

^С"^С"^! - ^С"^С1 или -^1 = 1; (26-25)

С( С1 Ср С» г,„ с

^С"^С?п -С_рС_в, или -^ = 1 . . (26-26)

или — =1; (26-27)

Г Г³

£^к. ₌ ^С»^С» , „ли ^{Ср С}™ °¹ = 1. (26-28)'

Если в соотношениях (26-25) — (26-28) вместо множителей подоб­ного преобразования подставить их значения и сгруппировать по ин­

дексам, то получаем следующие числа подобия:

Но = -—- = idem;	(26-29)
Fr = = idem; w2	(26-30)
u = —-— = —— = idem; pw2 pw2	(26-3 Ц
г, pwl wl . , Ke = —— = = idem, H v	(26-32)

где Ho — число подобия гидродинамической гомохронности, харак­теризующее скорость изменения поля скоростей движущейся жидкости во времени; Fr — число Фруда, определяющее отношение сил инерции к силам тяжести; Ей — число Эйлера, характеризующее соотношение между силами давления и силами инерции; Re — число Рейнольдса, представляющее собой отношение сил инерции к силам вязкости и определяющее характер течения жидкости.

Числа подобия Но, Fr, Eu, Re применяют при изучении гидроме­ханического подобия двух или нескольких систем. Для любых сход­ственных точек они имеют одни и те же значения.

Из уравнений энергии (26-14) и (26-22). получаем следующие со­отношения:

Jk_ ₌ £*£L или АЬ.= 1;' (26-33)

р рг рч ' ⁴ '

C^₌CaCl_^ ^_£Q_{=L (2}g.₃₄₎

Ci С/ с_а

Подставив вместо множителей подобного .преобразования их зна­чения и разделив переменные, получаем следующие числа подобия:

Fo=-^- = idem; - (26-35)

. Ре=— =1dem, ' (26-36) а

где Fo — число Фурье, критерий тепловой гомохронности, характе­ризующее связь между скоростью изменения температурного ПОЛЯ, физическими параметрами и размерами тела; Ре — число Пекле, число подобия конвективного теплообмена.

Если в число Ре вместо коэффициента температуропроводности а подставить его значение, равное-К/ср, и помножить числитель и зна- менатель на избыточную температуру f>, то Ре = , т. е. числи- тель числа подобия характеризует теплоту, -переносимую конвекцией, а знаменатель — теплоту, переносимую теплопроводностью.

ІГ Из уравнений теплообмена (26-15) и (26-23) получаем следующее ^соотношение:

[ С_аС_;=-^Ь-, или -^-=1. (26-37)

\ " После преобразования и разделения переменных находим

ІМи= — = ісіет, . (26-38)

где Ыи — число Нуссельта, характеризующее конвективный тепло­обмен между жидкостью и поверхностью твердого тела.

Число Нуссельта определяется теми же величинами, что и число Био, но в число Ыи входит теплопроводность теплоносителя, а в число В і — теплопроводность твердого тела.

Число. Ро, Ре и применяют при изучении теплового подобия двух или нескольких систем. Для любых сходственных точек они имеют одни и те же значения.

Если разделить число Рё на число Не, то получаем новое число Рг:.

Рг = Ре/Ие = \/а, (26-39)

где Рг — число Прандтля, определяющее физические свойства жид­кости.

Число Ре можно представить в виде произведения чисел Рче и Рг: Ре = Рче • Рг = {хю11\) (\/а) = хюііа. (26-40)

При изучении теплообмена в свободном потоке' жидкости учиты­вается число Фруда, но в нем необходимо исключить величину скорости ш, Которую измерить очень трудно. Для этого, умножая Рг на Ке², получим

Оа = Рг.Ке^г = -^ = іс1еггі, (26-41) .

V²

где-ва — число Галилея, характеризующее соотношение силы тяже-хти и силы молекулярного трения. Умножая полученное число (ла на симплекс (р — р₀)/ро> ^в котором р и ро'— плотности жидкости в двух точках, получаем новое число:

Аг=Са-^- = -^- -^Р/ (26-42) Р V² р ⁴ '

где Аг — число Архимеда, определяющее условия свободного движе­ния среды.

Для случая, когда изменение плотности жидкости получается вследствие различия температур в различных ее точках [р = р₀ X X (1 — ВДг)], симплекс (р — р₀)/Ро можно заменить через ВД/, где р — коэффициент объемного расширения среды (для газа р = МТ). В этом случае число Архимеда превращается в новое число:

_{Сг =} _М^, (26-43)

где вг — число Грасгофа, характеризующее соотношение подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости и силы молекулярного трения.

Числа подобия Рг, (за, Аг и йг тождественны — это четыре различ­ных вида одного и того же числа.

§ 26-5. Уравнения подобия

Уравнением подобия называют зависимость между каким-либо оп­ределяемым числом подобия и другими определяющими числами по­добия.

При расчете теплов*1Х аппаратов искомыми величинами являются коэффициент теплоотдачи а и гидравлическое сопротивление Ар. Конвективный теплообмен характеризуется пятью числами подобия — N11, Ей, Рг, вг и Ие. '

Число Ыи содержит неизвестный коэффициент теплоотдачи ос, а чис­ло Ей — искомую величину Ар, характеризующую гидравлическое сопротивление при движении жидкости. Поэтому числа Ыи и Ей яв­ляются определяемыми числами подобия, а числа Рг, йг и 1?е —опреде л_я ю щ и м и.

При конвективном теплообмене уравнения подобия могут быть представлены в следующем виде:'

Ыи = /_х (Не, От, Рг); (26-44)

Ей = /₂ (Ие, вг, Рг). ^ (26-45)

•Такая зависимость между числами подобия есть следствие второй теоремы теории подобия.

Зависимость между числами подобия в основном определяется опытным путем.

В случае вынужденного движения жидкости и при развитом турбу­лентном режиме свободная конвекция в сравнении с вынужденной очень мала, поэтому уравнение подобия теплоотдачи упрощается:

Ыи = / (Ие, Рг). (26-46)

Для некоторых газов величина числа Прандтля Рг в процессе кон­вективного теплообмена почти не изменяется с температурой, поэтому уравнение подобия принимает более простой вид:

Ыи = / (Не). (26-47)

При свободном движении жидкости, когда вынужденная конвек­ция отсутствует, вместо числа Рейнольдса в уравнение подобия теп­лоотдачи необходимо ввести число Грасгофа. Отсюда получаем

Ыц = / (йг, Рг). . (26-48)

Опытное исследование теплоотдачи капельных жидкостей показало, что коэффициент теплоотдачи ос будет величиной, различной в усло­виях нагревания и охлаждения стенки. Это явление связано с изме­нением физических параметров" жидкости в пограничном слое. Для

I получения уравнений подобия, одинаково справедливых как для на-| гревания, так и для охлаждения, вводят дополнительно отношения:

I ' ^пЛсп Рж''Рст> Рг_ж/Рг_ст.

Г Первое соотношение обычно применяют при расчете теплоотдачи I газов, остальные два — при расчете теплоотдачи капельных жид-|- костей.

I Академик М. А. Михеев рекомендует учитывать направление теп-I левого потока отношением Рг,_к/Рг_ет в степени 0,25. Тогда общее урав-| нение подобия для конвективного теплообмена принимает следующий |: вид:

I Ыи = с Ке", вт", Рг^т, (Рг_ж/Рг_ст)⁰'²⁵. (26-49)

к; ч

I В такой же форме можно представить все уравнения для частных [случаев. Количественная связь между числами подобия и является I предметом экспериментальных исследований.

I , § 2ё-6. Моделирование

| Опытное исследование различных физических явлений-вообще и тепловых явлений в частности может быть проведено путем непосред-! ственного изучения исследуемого явления на образце или изучения I его на модели. Условия, которым должны удовлетворять модель и про-: текающий в ней процесс, дает теория подобия. Возможности примене-■_; ния теории подобия к опыту почти безграничны. ( В предыдущих разделах было установлено, что все подобные друг '•другу явления некоторой группы представляют собой одно и то же ;• явление, данное в различных масштабах. Выводы,,полученные при изучении любого явления группы, можно распространить на все явле­ния этой группы. Следовательно, изучение определенного конкретного ^: явления данной группы равносильно изучению любого другого явле-" ния той же группы. Поэтому в тех случаях, когда непосредственное I опытное исследование конкретного явления в образце-натуре затруд-^ нительно по техническим или экономическим причинам, его заменяют ⁵ изучением подобного явления в модели.

• Моделированием называют метод экспериментального исследова-\ ния, в котором изучение какого-либо физического явления производит-р.ся на уменьшенной модели. Идея о моделировании вытекает из того, Ито всякое явление, описанное в безразмерных переменных, отражает |признаки группы подобных явлений.

1 Для того чтобы модель стала подобна образцу, необходимо выпол-. ;.нить следующие условия. Моделировать можно процессы, имеющие

* одинаковую физическую природу и описываемые одинаковыми диф-^ференциальными уравнениями. Условия однозначности должны быть г одинаковы во всем, кроме численных значений постоянных, содержа-|щихся в этих условиях. Условия однозначности тре-|б у ю т: геометрического подобия образца и модели, подобия условий Гдвижения жидкости во входных сечениях образца и .модели, подобия Ефизическнх параметров в сходственных точках образца и модели, подобия температурных полей на границах жидкой среды. Кроме того, одноименные определяющие числа подобия в сходственных сечениях образца и модели должны быть численно одинаковы. .

Перечисленные условия подобия для образца и модели являются необходимыми и достаточными. Однако практически точное осущест­вление всех условии моделирования выполнить затруднительно. Поэтому была разработана методика приближенного моделирования, заключающаяся в стабильности и. автомодельное™ потока и приме­няющая метод локальности,

Геометрическое подобие образца и модели осуществить нетрудно. Подобное распределение скоростей во входном сечении также может быть выполнено относительно просто. Подобие физических параметров в потоке жидкости для модели и образца выполняется лишь прибли­женно, а подобие температурных полей у поверхностей нагрева в мо­дели и образце осуществить очень трудно. В связи с этим применяют приближенный метод локального моделирования.

Локальное моделирование заключается в том, что подобие тем­пературных полей осуществляется не во всем объеме аппарата, а в от­дельных.ее местах — сечениях, где производится исследование тепло­отдачи. Равенство определяющих критериев в образце и'модели может быть выполнено приближенно. ' - Стабильностью называют свойство вязкости жидкости всегда при­нимать на некотором расстоянии от входа одно и то же распределение скоростей по сечению вне зависимости от картины скоростей во вход­ном сечении.

Явление автомодельности заключается¹ в том, что при движении жидкости для довольно широкого диапазона скоростей имеет место почти не меняющееся распределение скорости в данном сечении, т. е. оно практически перестает зависеть от Ие.

В настоящее время моделирование является одним из основных методов научного исследования и широко используется во многих об­ластях науки и техники. Оно стало мощным средством*для обнаруже­ния различных недостатков, имеющихся в существующих технических устройствах, и для изыскания путей к их-.устранению. Кроме того, моделирование стало широко применяться для проверки вновь созда­ваемых аппаратов, что позволяет совершенствовать новые, еще не вы­полненные на практике конструкции.