Глава VII

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

§ 7-1. Общие вопросы исследования процессов !

Первый закон термодинамики устанавливает взаимосвязь между количеством теплоты, изменением внутренней энергии и внешней ра­ботой газа, причем количество теплоты, подводимое к телу или отво­димое от него, зависит от характера процесса.

К основным процессам, имеющим большое значение как для теоре­тических исследований, так и для практических работ в технике, от­носятся: изохорный, протекающий при постоянном объеме; изобарный, протекающий при постоянном давлении; изотермный, протекающий при постоянной температуре; адиабатный, протекающий при отсут­ствии теплообмена с внешней средой.

Кроме-того, существует группа процессов, являющихся при опре­деленных условиях обобщающими для основных процессов. Эти про­цессы называются политропными и характеризуются постоянством теплоемкости в процесса.

Для всех процессов устанавливается общий метод исследований, который заключается в следующем:

выводится уравнение кривой процесса на pv- и Ts-диаграммах;

устанавливается зависимость между основными параметрами ра­бочего тела в начале и конце процесса; •

определяется изменение внутренней энергии по формуле, справед­ливой для всех процессов идеального газа:

. tt

Au = U₂—U_x — j" C₀û7 = Ct'm| ^2 — C_vm t_x,„ U 0 0

или при постоянной теплоемкости: ' w₂ — и_х - с„ (г₂ /_г); вычисляется работа изменения объема газа по основной формуле

/ = ^ pdv = ^ / (v) dv;

определяется количество теплоты, участвующее в процессе, по^ формуле

и 't

^{<?1-2 — ^ сж ^ = cxm I ^2 схт |}

/, о _о о

определяется изменение энтальпии в процессе по формуле, справед­ливой для всех процессов идеального газа:

и и

h 'l⁼⁼''Pm| ^2 ^сРт | tu

о о

или для постоянной теплоемкости:

i₂ — t'i = Ср (t₂ — tj); определяется изменение энтропии идеального газа по формулам:

. ~ s₂ — Si = c_v In ТУ?⁴! + R In гУ^,

■'■^ . «2 — «1 = с_Р In Тз/Т¹! — R In pj/ft. ^^Рассматриваемые процессы считаются обратимыми.

£ f - / § 7-2. Изохорный процесс

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называют изо-■хорным (dv = О, или v = const). Кривая процесса называется изо-Р 1о р иТ хорой. На рис. 7-1 представлен, график процесса. л г* 1 ¹ ■ Из уравнения состояния идеального газа pv = = RT при v — const получаем

р/Т = Rlv = f (v) = const.

__Q _ При постоянном объеме давление газа изме- Рг ^2 2 няется . прямо пропорционально абсолютным =*- температурам:

^Рис-.^7Л рМ = * (7-1)

Внешняя работа газа при v = const равна нулю, так как dv = 0. Следовательно,

»2

/ = ^ pdv = 0.

Располагаемая (полезная) внешняя работа которая может быть передана внешнему объекту работы, равна

^{= — I vdp=—v(p}₂^—p₁^).

Pi

Из полученного выраже'ния видно, что полезная внешняя работа /' в изохорном - процессе равна работе проталкивания l' = p_xv — p₂v. Например, проталкивание несжимаемой жидкости по каналу от од­ного сечения к другому.

Основное уравнение первого закона термодинамики (5-9) при dt = 0 принимает вид ■ _

dq_u = du_v = e_udt.

Количество теплоты, участвующее в процессе при постоянной теп­лоемкости, равно

qv_ll-2~^(duldt)_udt= ^ c_vdt = c, (t₂—fi) = «₂—и_и

Вся внешняя теплота расходуется только на изменение внутренней' энергии тела.

При переменной теплоемкости в процессе 1-2

_ '» и

<7г. 1-2 = «₂ —^м1 = ^сит ) 4 — Сът\ Г_г (7-2)

о о

Если процесс 1-2 осуществляется с увеличением давления, теплота в нем подводится, при этом увеличиваются внутренняя энергия и тем-

пература газа.' Если давление в процессе понижается, то теплота от­водится, уменьшаются внутренняя энергия и температура газа (рис. 7-1).

Изменение энтропии в обратимом изохорном процессе определяем из уравнения (6-42):

s₂ — s₂ = Со In TJT_X + R In v₂/v_u

но при v = const In у= 0, поэтому изменение энтропии при посто­янной теплоемкости равно

т

s_t—s_l=^(ds1dT)₀dT = c_olnT_iIT₁ = c₀)ap_tJp₁. (7-3) г,

Как видно из данного уравнения,. изохора на Ts-диаграмме пред­ставляет собой кривую 1-2 (рис. 7-2). Подкасательная к кривой 1-2 в любой ее точке дает значение истинной теплоемкости c_v.

Действительно, величина подкасательной в точке 2, по правилу аналитической изометрии,

3-4 = Т (ds/dt) = dqJdT = c_v..

Пл. 31243 в некотором масштабе изображает в процессе 1-2 коли-чество^чтеплоты q_v, которая расходуется на изменение внутренней энер­гии газа (ы₂ — и,).

Изохоры различных объемов являются эквидистантными кривыми, имеющими при одной и той же температуре одинаковые угловые коэф­фициенты.

Изохоры, построенные для различных объемов, смещены одна от­носительно другой на расстояние, которое определяется по уравнению (6-42) при Т — const (см. рис. 7-2): ■

As = s_a — s₂ = Я 1п„и>₂.

Чем больше объем газа, тем дальше находится изохора от оси ор­динат.

§ 7-3. Изобарный процесс

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называют изо­барным (dp — О, или р = const). Кривая процесса называется изо­барой. На рис. 7-3 изображен график про-i\P цесса.

Из уравнения состояния идеального га- ^ ^> % за для изобарного процесса находим

^{P/PiTf-* Pzv2T2, vlT = Rip = cp (p) = const.}

у. Это соотношение называется законом

-*» Гей-Люссака.

Рис. 7-3 Д^ля процесса 1-2

^{ьМ = ТУГа - р}₈^/_Р1^{. "(7-4)}

В изобарном процессе объемы * одного и того же количества газа изменяются прямо пропорционально абсолютным температурам.

При расширении газа его температура возрастает, при сжатии — уменьшается.

Удельная работа изменения объема при этом выражается следую­щим уравнением:

°1

»/ = ^ дЪ = />(и₂ —и,)> (7-5)

ИЛИ

/ = Я (7\, - 7_г) = Я (/„ -*,). (7-6)

Располагаемая (полезная) внешняя работа

2 .

/' = —^ Ы/> = 0.

Основное уравнение первого закона термодинамики при р — = сог^ (с(/> = 0) имеет вид

dq_p — СрсМ = di.

Следовательно, количество теплоты,, сообщенное телу в изобарном процессе при постоянной теплоемкости, равно

Яр, 1-2 = 5 (W)p# = jj c_pdt = c_p(t₂—t₁) = i₂—i₁; (7-7) и и

при переменной теплоемкости

<7р, 1-2=5 ^cP^di==cP^m\ ^cv^m I /i = 4—^fi- 7-8) t_t о о

■ Часть сообщенной теплоты q_{Vi x}._z, равная р (v₂ — Vi), переходит в работу'расширения, а другая часть- идет на увеличение внутренней энергии тела.

Для обратимого изобарного процесса' при постоянной теплоемкости изменение энтропии находится по уравнению (6-43):

s₂ — s_x = с_р In ТУТ¹! — R In p₂Ip_u но при р = const In р₂1р_г — 3, поэтому

Т т ^

= f (5s/57)_p dT = J (Ср/Т) dT = с_р In ТУ7\ = с_р In у,/^ (7-9) г, г,

Изобара на Т^диаграмме изображается кривой 7-5 (см. рис. 7-2) и, подобно изохоре, обращена выпуклостью вниз. Подкасательная кри­вой 7-5 в любой ее точке дает значение истинной теплоемкости с_р. Для точки 5 подкасательная

8-6 = Т (dsfdT) = dq_vldT = с_р.

Пл. 87568 под изобарой в некотором масштабе изображает коли­чество теплоты <7р, сообщаемое газу, равное изменению энтальпии i₂ — l\.

Все изобары являются эквидистантными кривыми, имеющими при одной и той же температуре одинаковые угловые коэффициенты. Горизонтальное расстояние между изобарами различных давлений определяется по уравнению (6-43) при Т — const (см. рис. 7-2):

As = s₀ — s₅ = R In р_ь/р₀.-

Из последнего уравнения следует, что расстояние между изобара­ми зависит от величины давлений и природы газа. Че^гбольше давление газа, тем изобара ближе к оси ординат.

Из сопоставления уравнений (7-3) и (7-9) следует, что в случае осу­ществления изохорпого и изобарного процессов в одном интервале тем­ператур возрастание энтропии будет больше в изобарном процессе, так как с_р всегда больше с_и. Изобары являются более пологими кри­выми, чем изохоры (см. рис. 7-2).

§ 7-4. Изотермный процесс

Процесс, протекающий при постоянной температуре, называют изо-термным (Т = const, или dT — 0). Кривая процесса называется изо­термой (рис. 7-4).

Для изотермного процесса идеального газа

pv = RT =. г|> (Т) = const

или

РА = Pi^v2 и pi/p₂ = ^v^^vi- (⁷~¹⁰)

При постоянной температуре объем газа изменяется.обратно про-, порционально его давлению (закон Бойля — Мариотта).

На ру-диаграмме изотермный процесс представляет собой равнобокую гипер­болу.

Основное уравнение первого закона термодинамики при Т = const получает простой вид:

4q = dl и q_t.2 = h-ч-

' тТ^-личеотво подведенной к рабочему те­лу теплоты численно равно работе изме­нения объема.

Зная уравнение изотермного процесса для идеального^- газа, можно подсчитать работу процесса. Удельная работа изменения объема равна

но из уравнения изотермы имеем

PV = Jl/И p

поэтому

Pivjv,

»1

l-

Интегрируя последнее уравнение, получаем

I = р&Ы v₂/v_l = д. ~ (7-11)

Уравнение (7-11) определяет работу и внешнюю теплоту идеаль­ного газа. При переходе к десятичным логарифмам имеем

<7 = / = 2,3 рл ^ v₂/v₁ = 2,3 р& ^ р!/р₂ -= 2,3 у₂/_У1 =

= 2,3 ЯТ \gpjpz. (7-12) *

Удельная располагаемая внешняя работа /' определяется по фор­муле

V =—^уйр = р₁у₁^йр1р = р₁и₁\пр₁1р„ (7-13) Р1 р₂

т. е. в изотермном процессе идеального газа V = I = q, или работа вменения обърмя. располагаема^(полезная) работа и количество теп­лоты, полученное телом, равны между собой. Теплоемкость в изотермическим Процессе

с_т = dqldt = dq/0 = ' ± оо.

Энтальпия и внутренняя энергия идеального газа не меняются, т. е. di = 0"и du = 0.

Изотермный процесс на ^-диаграмме изображается прямой, параллельной оси .абсцисс (см. рис. 7-2). Для определения изменения энтропии следует воспользоваться уравнением (6-42):

s, — s_x = Со In Т₂/Т_х + R In v₂/v_x,

откуда

^{sa — h = R 'n v2,vi и s}₂ ^{— St = Я In Pilp}₂^{. (7-H).}

Теплота, участвующая в изотермном процессе, равна произведению изменения энтропии (s₂ — s_x) на абсолютную температуру Т:

q = Т (s₂ - sj. - '

§ 7-5. Адиабатный процесс

Процесс, протекающий без подвода и отвода теплоты, т. е. при от­сутствии теплообмена рабочего тела с Окружающей средой, называют адиабатным, а кривая этого процесса называется адиабатой. Для по­лучения адиабатного процесса необходимым и обязательным усло­вием является dq — 0 и, следовательно, q — 0.

Обратимый адиабатный процесс можно осуществить в цилиндре с абсолютно нетеплопроводными стенками при бесконечно медленном перемещении поршня.

Выведем уравнение адиабаты. Из уравнений первого закона тер­модинамики при dq = 0 имеем

с_р dT — vdp = 0 и CodT + pdv = 0.

Разделив первое уравнение на второе, получим