Г л а в а VI теплоемкость газов. Энтропия

§ 6-1, Основные определения

При расчете тепловой аппаратуры наиболее важным моментом яв­ляется определение количества теплоты, участвующее в процессе. Точное его определение обеспечивает правильную оценку работы ап­парата с экономической точки зрения, что является особенно ценным при сравнительных испытаниях.

Сообщение телу теплоты в каком-либо процессе вызывает измене­ние его состояния и в общем случае сопровождается изменением тем­пературы. Отношение теплоты полученное единицей количества вещества при бесконечно малом изменении его состояния, к изменению температуры ді называется удельной теплоемкостью тела в данном процессе:

с_х = ёд_хШ. (6-1)

Величина <7 в уравнении (6-1) зависит не только от интервала тем­ператур, но и от вида процесса подвода теплоты, характеризуемого не­которым постоянным параметром х, которым может быть объем тела V, давление р и др. Общее количество теплоты, полученное в данном про­цессе, определяется выражением

Яг-г._х=\с_х(ІТ, (6-2) «і

где интеграл берется от начального состояния / до заданного конеч­ного состояния 2.

Поскольку количество теплоты &ц_х._г,_х зависит от характера про­цесса, то и теплоемкость системы с_х также зависит от условий проте­кания процесса. Одна и та же система в зависимости от характера про­цесса обладает различными теплоємкостями, численная величина ко­торых может изменяться в пределах от —оо до + оо .

§ 6-2. Массовая, объемная и мольная теплоемкости газов

В термодинамике различают теплоемкости: массовую, объемную и мольную.

Теплоемкость, отнесенную к 1 кг газа, называют массовой и обозна­чают с_х. Измеряют эту теплоемкость в кдж/(кг-град).

Теплоемкость, отнесенную к 1 м³ газа при нормальных физических условиях, т. ё. при давлении 101325 н/м² и температуре 0° С, называют объемной и обозначают буквой с'_х; измеряют ее в кдж/(м³ ■ град).

Теплоемкость, отнесенную к 1 кмоль газа, называют мольной и обозначают рс_ж; измеряют ее в кдж!(кмоль-град).

Между указанными теплоємкостями существует следующая связь: с_х = c'_xv₀ = [1С_х/[1,

где v_Q — удельный объем при нормальных термодинамических усло­виях; р — молекулярная масса.

§ 6-3. Аналитические выражения для теплоємкостей c_v и Ср

Как указывалось, теплоемкости зависят от характера процесса. В термодинамике имеют большое значение теплоемкость при постоян­ном объеме

c_v = dqJdT, (6-3)

равная отношению количества теплоты dq_v в процессе при постоянном объеме к изменению температуры dT тела, и теплоемкость при по­стоянном давлении

с_р = dq_vldT, (6-4)

равная отношению количества теплоты dq_p в процессе при постоянном давлении к изменению температуры dT тела.

При равновесном процессе нагревания тела элементарное количе­ство теплоты определяем из уравнения (5-9):

dq — du + pdv,

а так как из уравнения (5-3)*

du = (du/dv)_rdv + (duldT)_vdT,

то

dq = (du/dT)„dT + l{du!dv)_T + p] dv.' (6-4')

Полученное выражение для процесса при постоянном объеме (dv — 0) принимает вид

dq_v = {du!dT)_vdT.

Поэтому теплоемкость при v = const, может быть представлена в виде

c_v = (ди/дТ)„, - (6-5)

т. е. теплоемкость c_v при v — const равна частной производной от внут­ренней энергии и (рассматриваемой как функция Т и v) по темпера­туре Т.

Кроме того, из уравнений (6-3) и (6-5) следует, что в процессе при v — const, в котором тело не совершает внешней работы, вся теплота, сообщаемая телу, идет на изменение его внутренней энергии:

dq_v = du₀ = CtdT_v, (6-6)

или при Су = const

Qi-2,v ~ w₂ — и_х — c_v (t₂ ti).

Изменение внутренней энергии идеального газа равно произведе­нию теплоемкости c_v при постоянном объеме на разность температур тела в любом процессе.

Действительно, для идеального газа, внутренняя энергия которого является функцией только температуры, частная производная (du/dv)_T будет- равна нулю. Тогда du = (du/dT)_vdT, или du = CvdT, неза-- висимо от характера процесса.

Интегрируя "уравнение (6-6) для идеального газа от 0° С до /.по­лучим

t

u = ^o_vdt = c_Vm\^t₀t, о

где с_вт — средняя теплоемкость при v = const.

Отсюда для любого конечного процесса изменения состояния иде­ального газа имеем

И₂ ^ui = C_vm (t₂ (i) = C_vm \_Q* t_% — C_vm |g' t_x.

Подставляя значение du = c_vdT в основное уравнение первого за­кона термодинамики (5-9), имеем в общем случае для обратимого про­цесса при бесконечно малом изменении состояния идеального газа

■ - dq = c-JT + pdv. (6-7)

Если в качестве независимых переменных принять Т и v, то из урав­нения первого закона термодинамики получим

dq = (du/dT)_vdT + lp + (du/dv)_T] dv, (6-7')

отсюда при р = const

dq_p = (ди/дТ)_и dT_p + [р + [duldv)_T\ dv_p

или, поскольку dq_p = c_pdT_p, (6-8)

с_р = (ди/дТ)_{ + [р + (ди/ди)_т\ (дЫдТ)_р.

Применяя уравнение (6-5), получаем

с_Р .== c_v + [p + (dufdv)_T] [dvldT)_p. (6-9)

Уравнение (6-9) устанавливает в общем виде связь между тепло-емкостями с_р и c_v.

Для идеального газа, так как (du/dv)_T = 0, а из уравнения-состоя­ния pv = RT, р (dv/dT)_p = R, (6-Ю) с_Р — с_и + R и с_р — c_v = R. ''

Это уравнение носит название уравнения Майера.- Оно может быть записано и для 1 кмоль:

цс_р = \ic_v + iiR, или (хСр — цси = 8,3142 кдж/(кмоль-град).

Следовательно, для идеальных газов разность между \лс_р и \ic_v есть величина постоянная.

Уравнение для теплоемкости с_р можно получить, если в качестве Независимых параметров взять давление р и температуру Г..Тогда со­гласно уравнению (5-13)

dq = di — vdp

или

dq = {ді/дТ)_р dT — lv —(di/dp)_T]dp, (6-11)

откуда следует, что при р = const

dq_v = (di/dT)_pdT_p

и, следовательно, теплоёмкость при постоянном давлении равна

с_р=(ШТ)_р, ' (6-12)

т. е. теплоемкость тела с_р при p=const равна частной производной от энтальпии і по температуре Т и является функцией р и Г.

Поскольку энтальпия идеального газа не зависит от давления и объема и является функцией одной температуры, нетрудно пока­зать, что теплоемкость с_р идеального газа для любого процесса равна

с_р = dildT. ■

Тогда уравнение первого закона термодинамики

dq = di —г vdp

для идеального газа можно переписать в виде

dq = CpdT — vdp. (6-13)

Первый закон термодинамики при независимых переменных о и Г представляется в Другом виде:

dq = CvdT + pdv,

но _p = p>T/v = T (др/дТ)_в, где R/v -= (дрїдТ),

и 'dq = cJT + T (др/дТ)₀ dv. (6-14)

С помощью последнего уравнения можно найти зависимость между теплоємкостями с_р и c_v. Для изобарного процесса (при р ~ const) уравнение (6-14) принимает вид

dq_p = c_v dT_p + Т фр1дТ)1 dv_p. , (6-15)

Разделим левую и правую .часть уравнения (6-15) на dT_p:~

dq_pldT_p = CvdTp/dTp + Т {dpldT)_v dv_p/dT_pr

принимая¹ во внимание, что dq_p = c_pdT_p, получаем

с_р — c_v = Т (др/дТ)_и (дЫдТ)_р. (6-16)

Если для реального газа известно уравнение состояния и с_р, кото- -рая может быть определена из опыта, то последняя формула позволяет