13.4. Принцип суперпозиции электрических полей

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой точке пространства каждым из зарядов в отдельности:

. (13.4.1)

Примечание: в случае непрерывного распределения электрических зарядов интегрирование проводится по области, где распределены заряды:

.

П ример 13.4.1. Два точечных заряда и находятся на расстоянии друг от друга. Определить напряженность поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность поля, если второй заряд положительный?

Р Дано: , , ешение:

1) По принципу суперпозиции .

У

_{Рис. 13.4.1. К примеру 13.4.1}

кажем направление векторов напряженности поля, созданного каждым из

зарядов (рис. 13.4.1.а).

В скалярной форме , где

; .

2) Аналогично для двух положительных зарядов (рис.13.4.1.б) .

Ответ: , .

Пример 13.4.2. Найти напряженность поля, созданного системой двух жестко связанных одинаковых по модулю точечных зарядов противоположного знака (электрического диполя) на расстоянии от центра диполя в направлении, перпендикулярном оси диполя. Расстояние между зарядами (плечо диполя) равно

Р Дано: , ешение:

(учли, что ).

У кажем направление векторов напряженности поля, созданного положительным и отрицательным зарядами (рис. 13.4.2). Из подобия треугольников ABC и DCN следует: .

Таким образом,

Ответ: .

Пример 13.4.3. Вычислить напряженность поля длинной прямой проволоки, заряд которой равномерно распределен по всей длине, на расстоянии от проволоки против ее конца на перпендикуляре, восстановленном к проволоке, если линейная плотность заряда проволоки .

Дано:

,

.

Решение:

П усть точка А находится на расстоянии а от конца проволоки. Чтобы найти напряженность поля в этой точке, разобьем проволоку на множество бесконечно малых элементов. Рассмотрим бесконечно малый элемент проволоки , находящийся на расстоянии от точки А (рис. 13.4.3). Заряд элемента («элементарный заряд») . Напряженность поля , созданная этим зарядом в точке А, равна . В качестве переменной величины выберем угол , который составляет радиус-вектор с нормалью к проволоке. Из треугольника АОВ ; из треугольника АDB катет ; из треугольника DBС . Получаем .

Напряженность поля в точке А равна сумме напряженностей всех элементов проволоки. Поскольку все слагаемые векторы имеют различные направления, то для вычисления найдем проекции вектора на оси и : , .

Интегрируя эти проекции по всей длине проволоки и учитывая, что угол изменяется от до , получим , .

Следовательно .

О твет: .

13.5. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора напряженности

Поместим заряд в электростатическое поле заряда . На заряд будет действовать сила (рис. 13.5.1). При перемещении заряда сила совершит работу. Работа силы на элементарном перемещении

.

Работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 равна

(13.5.1)

Эта работа не зависит от траектории перемещения, а определяется только положением начальной и конечной точек поля. Следовательно, силы, действующие на заряды, являются консервативными, а электростатическое поле точечного заряда является потенциальным. Работа, совершаемая силами при перемещении заряда по любому замкнутому контуру в таком поле равна нулю:

Пусть заряд - единичный положительный. Тогда

,

где проекция вектора на направление элементарного перемещения, откуда

(13.5.2)

Учитывая, что , получим

.

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности.

Таким образом, теорема о циркуляции гласит: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Для таких полей можно ввести понятие потенциала.