Р Дано: , ешение.

Полезные мощности, выделяющиеся на двух различных нагрузках

и (1), где и – сопротивление внешней цепи.

С огласно закону Ома для замкнутой цепи и (2), где э.д.с. источника, его внутреннее сопротивление. Выразим из (2) сопротивления нагрузок и . Подставим в (1) .

Решим совместно уравнения системы. Для этого из верхнего выразим и подставим в нижнее, разрешив полученное уравнение относительно r: Вычисляя, получим

О твет:

17.9. Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

В ыделим мысленно внутри проводника элементарный цилиндрический объём с образующими, параллельными векторам плотности тока и напряженности поля (рис. 17.9.1). Для выделенной части проводника используем закон Ома для однородного участка цепи: . Разность потенциалов можно выразить через напряженность поля, считая поле в пределах малой выделенной части однородным: . Сила тока равна . Сопротивление этого участка цилиндрической формы , где l – длина цилиндра, S – площадь его сечения.

После подстановки последних трёх уравнений в закон Ома получим

или .

Введём величину, называемую удельной электропроводностью проводника:

. (17.9.1)

Единица удельной электропроводности в СИ – .

С учётом этого

. (17.9.2)

Заметим, что для изотропных сред вектор сонаправлен вектору . Следовательно, в векторной форме закон Ома для однородного участка цепи имеет вид:

.

В отличие от интегральной формы закона Ома, дифференциальная форма содержит только величины, характеризующие электрическое состояние среды в одной и той же точке.

Аналогично можно получить закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. В элементарном цилиндрическом объёме за время выделяется теплота в количестве

.

В единицу времени в цилиндре выделяется

,

где - объём элементарного цилиндра. Следовательно, во всём проводнике выделяется , а в единице объёма проводника

. (17.9.3)

Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Пример 17.9.2. Определить плотность электрического тока в алюминиевом проводнике (удельное сопротивление алюминия ), если удельная тепловая мощность тока (количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в единице объёма проводника) .

Р Дано: , ешение.

С огласно законам Джоуля-Ленца и Ома в дифференциальной форме (1) и (2), где и соответственно удельная проводимость и удельное сопротивление.

Из (2) получим . Подставим в (1): .

Найдём искомую плотность тока .

О твет: .

Примечание: при включении в цепь электроизмерительного прибора мощность, потребляемая прибором от измерительной цепи, должна быть мала, чтобы не вносить дополнительных погрешностей в измерения. Мощность, выделяющуюся на участке электрической цепи, можно найти по одной из трех формул: .

Амперметр включается в цепь последовательно с нагрузкой, а вольтметр параллельно нагрузке. Поэтому мощность, выделяющуюся на амперметре, удобно рассчитывать по формуле , а на вольтметре – . Чтобы мощность, потребляемая измерительным прибором, была наименьшей, то необходимо, как следует из этих формул, чтобы внутреннее сопротивление амперметра было как можно меньше (для идеального амперметра равно нулю), а внутреннее сопротивление вольтметра было как можно больше (в идеальном случае – бесконечно).