Решение:

1 . Поскольку внутри заряженных цилиндров (точка 1) напряженность поля равна нулю, то при , при . Следовательно .

2

. При (точка 2) напряженность поля второго цилиндра . Следовательно,.

3 . При и (точка 3) .

Укажем направление векторов напряженности полей, созданных цилиндрами в точке 3 (рис. 14.2.14). В скалярной форме

Ответ: , , .

I V. Поле однородно заряженной сферической поверхности.

П усть сфера радиусом R несет на себе заряд с поверхностной плотностью . Окружим сферу замкнутой сферической поверхностью S₁ с радиусом r, причем (рис. 14.2.15). В силу симметрии напряженность электрического поля на сферической поверхности одинакова и имеет только нормальную составляющую, следовательно, .

Воспользуемся теоремой Гаусса:

.

С другой стороны, .

Тогда . Таким образом, напряженность поля вне заряженной сферы равна

или ,

где заряд на сфере. Следовательно, электрическое поле равномерно заряженной сферы не зависит от радиуса сферы R. Внутри сферы поле равно нулю, так как равен нулю заряд внутри сферической поверхности с радиусом, меньшим радиуса заряженной сферы R. Таким образом, напряженность

(14.2.14)

Зависимость напряженности электрического поля, созданного сферической поверхностью, от расстояния до центра сферы, показана на рис. 14.2.16.

В не сферы разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях r₃ и r₄ от центра сферы (рис. 14.2.17)

Полагая , находим потенциал поля вне сферической поверхности

(14.2.15)

Внутри сферы разность потенциалов между точками 1 и 2 равна нулю, так как Следовательно, . Поскольку при переходе через границу поверхности сферы потенциал не претерпевает скачка (свойство непрерывности потенциала), то , где потенциал на поверхности сферы. Полагая в формуле 14.2.15 , находим потенциал на поверхности сферы, равный потенциалу внутри сферической поверхности

.

Таким образом, потенциал сферы

(14.2.16)

На рис. 14.2.16. изображена зависимость потенциала электрического поля заряженной сферы от расстояния до центра сферы.

П ример 14.2.5. Сфера радиусом , находящаяся в вакууме, имеет поверхностную плотность заряда . Определить потенциал и напряженность поля в точке, отстоящей на от центра сферы, а также потенциал и напряженность поля внутри сферы.

Дано:

,

,

Р ешение:

Напряженность электрического поля, образованного заряженной сферой, вне сферы по формуле 14.2.13 равна , а потенциал по 14.2.15 , или .

Так как , то , а .

Внутри сферы зарядов нет, поэтому напряженность , а потенциал поля во всех точках одинаков и равен .

Найдем численные значения полученных величин:

О твет: ; ; ; .

V . Поле двух концентрических однородно заряженных сфер (поле сферического конденсатора).

Направление векторов и указано на рис. 14.2.12. Для конденсатора , следовательно, , и результирующая напряженность поля

(14.2.17)

Таким образом, поле сосредоточено между обкладками конденсатора. Зависимость напряженности поля сферического конденсатора от расстояния до центра представлена на рис. 14.2.13.

Пример 14.2.6. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами радиусами и . Заряды сфер соответственно равны и . Определите напряженность электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: 1) ; 2) ; 3) Постройте график зависимости .