Р Дано: , ешение:

Н арисуем линии напряженности, исходя из условия, что (рис. 14.2.7). Так как напряженность в каждой из трех областей есть величина постоянная, то:

Пользуясь тем, что , и полагая получаем Строим зависимость (рис. 14.2.8).

О твет: , .

2. Поле бесконечной равномерно заряженной нити (цилиндра).

В силу симметрии распределения зарядов силовые линии поля перпендикулярны поверхности нити. Для определения напряженности поля воспользуемся теоремой Гаусса. Для этого окружим нить, радиус которой R, замкнутой поверхностью в виде коаксиального цилиндра с радиусом r. Если линейная плотность заряда на нити , то внутрь замкнутой поверхности попадает заряд, равный , где l –

длина произвольного участка нити (рис. 14.2.9). Тогда

,

Разобьем интеграл по замкнутой цилиндрической поверхности на сумму трех интегралов – по поверхности оснований и по боковой поверхности:

.

П оток вектора напряженности через поверхности оснований цилиндра равен нулю, так как нормальная составляющая вектора на поверхности оснований равна нулю. В силу симметрии на боковой поверхности цилиндра , следовательно, напряженность можно

вынести за знак интеграла. После преобразований получим . Следовательно, , откуда

. (14.2.8)

Следовательно, поле, создаваемое нитью (цилиндром), не является однородным. Если цилиндр полый, то внутри него поле равно нулю, так как внутри цилиндрической поверхности заряда нет, и напряженность поля цилиндра равна

(14.2.9)

График зависимости напряженности цилиндра от расстояния от его центра представлен верхней части рис. 14.2.10.

Разность потенциалов поля внутри полого цилиндра есть величина постоянная, и если за ноль потенциала принять потенциал на оси цилиндра, то потенциал поля внутри полого цилиндра .

Разность потенциалов двух точек на силовой линии поля цилиндра, находящихся на расстояниях r₁ и r₂ до его центра (рис. 14.2.11)

.

Таким образом, потенциал поля линейно заряженного цилиндра

(14.2.10)

Е сли цилиндр сплошной, то заряд, попавший внутрь цилиндра радиуса и высоты , равен , где объемная плотность заряда. Таким образом , и напряженность

(14.2.11)

Разность потенциалов поля внутри равномерно заряженного цилиндра равна

Таким образом, если за ноль потенциала принять потенциал на оси цилиндра, то потенциал поля равномерно заряженного сплошного цилиндра равен

(14.2.12)

и представлен на рис. 14.2.10.

Пример 14.2.3. Длинный прямой провод диаметром , расположенный в вакууме, несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью . Определить напряженность и потенциал электростатического поля на расстоянии от провода.

Р Дано: , . Ешение:

Н апряженность поля цилиндра вне цилиндра по формуле 14.2.10 . Потенциал

О твет: ,

III. Поле двух коаксиальных бесконечных однородно заряженных цилиндров (поле цилиндрического конденсатора).

Направление векторов и указано на рис. 14.2.12. По принципу суперпозиции полей в любой точке поля . Для конденсатора , следовательно, . Напряженность поля

(14.2.13)

Таким образом, поле сосредоточено между обкладками конденсатора. Зависимость напряженности поля цилиндрического конденсатора от расстояния до центра представлена на рис. 14.2.13.

П

Дано:

,

,

, ,

,

,

ример 14.2.4. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом заряжен с линейной плотностью . Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом заряжен с линейной плотностью . Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) ; 2) ; 3)