18.3. Вывод законов постоянного тока на основе теории Друде – Лоренца

Пользуясь теорией Друде – Лоренца можно получить любой из ранее выведенных законов постоянного тока.

1. Закон Ома.

Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью . Ускорение, приобретаемое электроном в электрическом поле .

На пути свободного пробега (расстояние между двумя последовательными столкновениями) максимальная скорость электрона достигает величины

,

где время свободного пробега, равное .

Среднее значение скорости упорядоченного движения: .

Подставим это значение в формулу 18.2.2: .

Полученное выражение представляет собой закон Ома в дифференциальной форме:

где удельная электропроводность металла равна: .

Следовательно, проводимость металла тем выше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

Таким образом, удельное сопротивление , так как . Сопротивление металлов обусловлено столкновениями свободных электронов с ионами кристаллической решетки: если бы электроны не сталкивались с ионами, то и .

2. Закон Джоуля – Ленца.

Теплота выделяется в результате столкновения электронов с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки и передачи им энергии.

Кинетическая энергия электрона, которую он имеет к моменту соударения с ионом: .

Кинетическая энергия электронного газа

,

где число электронов в единице объема проводника.

Количество теплоты, выделяющееся в единицу времени: .

Полученная формула представляет собой закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

3. Закон Видемана – Франца.

Из опыта известно, что металлы, наряду с высокой электропроводностью, обладают также высокой теплопроводностью. Видеман и Франц в 1853 г. открыли эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре: .

Рассматривая электроны в металле как одноатомный газ, можем на основании кинетической теории газов записать для коэффициента теплопроводности электронного газа:

,

где удельная теплоемкость одноатомного газа при постоянном объеме.

Разделив на , приходим к закону Видемана – Франца:

. (18.3.1)

Подставив в 18.3.1 и , найдем, что , что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Таким образом, классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля – Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана - Франца.

18.4. Затруднения классической теории электропроводности металлов

Несмотря на достигнутые успехи, классическая электронная теория проводимости металлов Друде – Лоренца не получила дальнейшего развития. Связано это с двумя основными причинами: 1) трудностями, с которыми столкнулась эта теория при объяснении некоторых свойств металлов; 2) созданием более совершенной квантовой теории проводимости твердых тел, устранившей затруднения классической теории и предсказавшей ряд новых свойств металлов.

Выделим основные затруднения теории Друде – Лоренца:

1. Согласно классической теории, зависимость удельного сопротивления металлов от температуры , в то время, как на опыте (в широком интервале температур вблизи ) для большинства металлов наблюдается зависимость .

2. Хорошее качественное совпадение с законом Видемана – Франца оказалось в известной степени случайным. В первоначальном варианте теории Друде не учи-

тывал распределение электронов по скоростям. Позже, когда Лоренц учел это распределение, оказалось, что отношение , что значительно хуже согласуется с экспериментом.

3. Теория дает неправильное значение теплоемкости металлов. С учетом теп-

лоемкости электронного газа теоретическое значение теплоемкости металла должно быть равно , а эксперименты дают , что соответствует теплоемкости диэлектриков.

4. Теория не смогла объяснить открытое в 1911 г. Камерлинг – Оннесом явлении сверхпроводимости (полного исчезновения сопротивления) металлов при низких температурах, а также существование остаточного сопротивления, в сильной степени зависящего от чистоты металлов.

Помимо указанных, имеются и другие расхождения между выводами классической электронной теории и опытом.

Одна из причин этих расхождений заключается в неправильном предположении о том, что все электроны имеют одинаковую скорость, которая находится по законам статистики Максвелла – Больцмана. В действительности для электронов металлов справедлива квантовая статистика Ферми – Дирака. Во-вторых, не учитывается взаимодействие электронов друг с другом, а их взаимодействие с решеткой описывается с помощью представлений о кратковременных соударениях. На самом деле электроны взаимодействуют друг с другом и движутся в периодическом поле электрического потенциала решетки.