19.3. Энергия Ферми. Статистика электронов в металле

При абсолютном нуле электроны в проводнике располагаются на самых низких энергетических уровнях. Поэтому все уровни с энергией будут заполнены электронами, уровни же с будут вакантными. Энергия называется энергией Ферми (соответствующий энергетический уровень называется уровнем Ферми).

Следовательно, энергия Ферми равна максимальной энергии, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 K.

Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа:

,

где постоянная Планка).

Оценим значение . Концентрация электронов проводимости в металле ~10²² – 10²³ см^-3. Взяв для n среднее значение см^-3 , получим .

Расчет показывает, что средняя энергия электронов при абсолютном нуле равна . Это огромная величина. Чтобы сообщить классическому электронному газу такую энергию, его нужно нагреть до температуры .

Функция распределения электронов по состояниям с различной энергией (функция Ферми – Дирака) при абсолютном нуле имеет вид (рис. 19.3.1):

_,

где плотность вероятности заполнения уровня с энергией W.

При температурах, отличных от нуля, функция распределения примет вид (рис. 19.3.2):

(19.3.1)

Квантовые системы, описываемые функцией Ферми – Дирака, называются вырожденными.

Исследуем функцию Ферми – Дирака при .

1. Пусть . Тогда . Следовательно, уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого равна 0,5.

2. Пусть (большие энергии). Тогда единицей в знаменателе формулы 19.3.1 можем пренебречь и функция распределения Ферми – Дирака переходит в функцию распределения Больцмана Следовательно, при высоких энергиях (высоких Т) электронный газ ведет себя подобно классическому газу.

Системы, описываемые функцией Больцмана, то есть подчиняющиеся классической статистике, называется невырожденными. Таким образом, можно говорить о температуре вырождения электронного газа (ниже этой температуры электронный газ вырожден).

Температуру вырождения можно оценить из условия: Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле , то есть для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

3. Пусть . Тогда .

Функции распределения Ферми – Дирака для (рис. 19.3.1) и для (рис. 19.3.2) заметно различаются лишь в узкой области .

П ример 19.3.1. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, отличающееся от уровня Ферми на в двух случаях: 1) температура металла ; 2) температура металла .

Р Дано: , , . Ешение:

Плотность вероятности заполнения уровня найдем по формуле 19.3.1.

1. Выше уровня Ферми: .

Н иже уровня Ферми: .

2)Выше уровня Ферми: .

Ниже уровня Ферми: .

О твет: .