Тема 2. Вирахування середньої арифметичної
2.1. Вирахування середньої арифметичної прямим способом у малих вибірках.
Основним показником, який характеризує генеральну сукупність за величиною ознаки, що вивчають, є середня арифметична . Прямий спосіб її вирахування заключається в сумуванні усіх варіант (Х1 + Х2 + Х3 + … Хn) з наступним діленням суми на число варіант у сукупності:
(1)
де Х – сума варіант.
Формула (1) відображає прямий, найбільш точний спосіб вирахування середньої арифметичної. Однак використовують її тільки при вивченні малих виборок.
2.2. Обчислення середньої арифметичної у великих вибірках.
Наведений вище прямий метод вирахування середньої арифметичної при великому числі варіант трудомісткий. Тому при біометричній обробці великих виборок застосовують непрямі методи. Нижче розглядається вирахування способом добутків, при якому використовуються варіаційні ряди.
Розрахунок робиться за формулою:
=А+b (2) або
(3),
де
А – умовна одиниця, яку обирають довільно;
b – поправка, яку потрібно додати до А для отримання Х.
Розбір вирішення задачі.
Визначити середню арифметичну добових надоїв 100 корів за даними таблиці 1. Для цього виписуємо варіаційний ряд для добового надою. Потім треба вибрати умовну середню А. За таку, як правило, приймають значення середини того класу, в який входить найбільша кількість варіант. У нашому прикладі А=21кг молока. Щоб за допомогою умовної середньої вирахувати середню арифметичну за формулою (2), потрібна поправка. Для цього в третій графі табл.2 відмічають, на скільки класних проміжків відхиляється від умовної середньої величина кожного класу. Ці відхилення позначають літерою а. починати треба з класу, середина якого дорівнює 21. Його відхилення від умовної середньої дорівнює нулю. Клас 19 відхиляється на один класний проміжок, клас 17 – на 2, клас 15 – на 3, клас 13 – на 4 проміжки. Відхилення цих класів від’ємні, так як їх значення менші умовної середньої. Класи 23, 25, 27 і т.д.. відхиляються від умовної середньої також на 1, 2, 3, 4 і т.д. класних проміжків, але їх відхилення є додатні, так як варіанти більші умовної середньої.
Таблиця 2
Середня арифметична добових надоїв 100 корів
Середина класів W |
Частота f |
Відхилення a |
Добуток відхилення на частоту fa |
13 |
3 |
-4 |
-12 |
15 |
6 |
-3 |
-18 |
17 |
10 |
-2 |
-20 |
19 |
15 |
-1 |
-15 |
21 |
24 |
0 |
0 |
23 |
19 |
+1 |
+19 |
25 |
15 |
+2 |
+28 |
27 |
6 |
+3 |
+18 |
29 |
2 |
+4 |
+8 |
31 |
1 |
+5 |
+5 |
n=100 |
|
∑fa=+13 |
|
Записавши відхилення кожного класу (a) на відповідну частоту (f), добуток (fa) вписують у четверту графу таблиці. Нарешті, сумують усі значення з урахуванням їх знаку, спочатку усі додатні, а потім усі від’ємні, і віднімають від більшої суми меншу, зберігаючи знак більшої величини.
У нашому прикладі сума додатних значень дорівнює +78, а сума від’ємних –65. Їх алгебраїчна сума (+78)+(-65)=+13. Суму ∑fa вписують у нижній рядок четвертої графи. Вона представляє собою виражену в числі класних інтервалів суму відхилень варіант від умовної середньої. В нашому прикладі вона не дорівнює нулю. Значить, для вирахування середньої арифметичної потрібно знайти за формулою 2 величину поправки:
;
Додавши до умовної середньої поправку, отримують середню арифметичну.
=A+b=21+0,26=21,26 кг молока.