8.3 Перевірка гіпотез про рівність дисперсій і математичних очікувань

8.3.1. Критерій Фишера для порівняння дисперсій

Використовується у випадку, якщо потрібно перевірити чи відрізняється розкид даних (дисперсії) двох вибірок. Для перевірки статистичної гіпотези про рівність дисперсій служить F- критерій Фішера. Основною характеристикою критерію є рівень значущості α, який має змісту ймовірності помилитися, припускаючи, що дисперсії й, отже, точність, різняться. Замість а в задачах також іноді задають довірчу ймовірність р = 1 – α, що має зміст імовірності того, що дисперсії й насправді рівні. Звичайно вибирають критичне значення рівня значимості, наприклад 0,05 або 0,1, і якщо α більше критичного значення, то дисперсії вважаються рівними, а якщо ні, то, різні. При цьому критерій може бути однобічним, коли потрібно перевірити, що дисперсія конкретної виділеної вибірки більше, чим в інший, і двостороннім, коли просто потрібно показати, що дисперсії не рівні. Існує два способи перевірки таких гіпотез. Розглянемо їх на прикладах.

Розбір вирішення задачі

Виміряна довжина передьної кінцівки в представників двох популяцій озерної жаби. Необхідно перевірити, можна чи з імовірністю не менш 0,95 вважати, що довжина кінцівок у них різна.

Популяція 1	47,5	52,9	51,3	48,1	52,6	49,4	48,0	52,3	45,9	52,6	46,8	49,0
Популяція 2	52.5	50,5	48,4	48,6	50,6	50,0	50,1	49,5	49,7	51,1	49,2	49,7

За умовою задачі критерій двосторонній, тому що потрібно перевірити відмінність дисперсій. Довірча ймовірність задана на рівні р=0,95, отже, рівень значущості α = l – p = 1 – 0,95 = 0,05 . Уводимо дані вибірок (без підписів) у два рядки в комірки A1-L1 і A2-L2 відповідно. Для обчислення рівня значущості двостороннього критерію служить функція ФТЕСТ(масив1;масив2). Уводимо в А4 підпис «Рівень значцщості», а в В4 функцію ФТЕСТ, аргументами якої повинні бути посилання на комірки A1-L1 і A2-L2 відповідно. Результат 0,011591293 говорить про те, що ймовірність помилитися, прийнявши гіпотезу про відмінність дисперсій, близько 0,01, що менше критичного значення, заданого в умові задачі 0,05. Отже, можна говорити що досвідчені дані з великою ймовірністю підтверджують припущення про те, що дисперсії різні й довга кінцівок в особин із двох популяцій озерної жаби різна.

Інший спосіб розв'язку задачі - використовувати надбудову «Аналіз даних» (Data Analysis). Для її підключення потрібно в меню «СЕРВІС» вибрати «НАДБУДОВИ» і поставити прапорець напроти «Пакет аналізу» (Analysis Toolpak). Після цього в меню «СЕРВІС» з'явиться пункт «АНАЛІЗ ДАНИХ» (Data Analysis). Викликавши його, відкриється вікно, у якім потрібно вибрати «Двухвивірковий F-Тест для дисперсій» (F-test Two-Sample for Variances). У вікні, що відкрилося, у полях «Інтервал змінної 1» (Variable 1 Range) і «Інтервал змінної 2» (Variable 1 Range) уводять посилання на дані (A1-L1 і А2- L2, відповідно), якщо є підписи даних, то ставлять прапорець у напису «Мітки» (Label) (у нас вони відсутні, тому прапорець не ставиться). Далі вводять рівень значимості в поле «Альфа» (Alpha) (по умови це 0,05, і дане значення вже зазначене за замовчуванням). У розділі «Параметри висновку» (Output Options) ставлять мітку близько «Вихідний інтервал» (Output Range) і помістивши курсор в, що з'явилося поле напроти напису, клацають лівою кнопкою в гнізді В7. Висновок результату буде здійснюватися починаючи із цього комірки. Нажавши на «ОК» з'являється таблиця результату. Зруште границю між стовпцями В и С, С и D, D і Е, збільшивши ширину стовпчиків В, С и D так, щоб уміщалися всі написи. У таблиці зазначені середні та дисперсії кожної вибірки, значення F-критерію, однобічний критичний рівень значимості в рядку «P(F<=f) однобічне» («P(F<=f) one-tail») і критичне значення F-критерію (F critical one tail). Якщо значення F- критерію ближче до одиниці, чому F-Критичне, то із заданою ймовірністю можна вважати, що дисперсії рівні. Про це ж говорить і те, що критичний рівень значимості «P(F<=f) однобічне» більше заданого значення а. У нашім випадку F-Критерій рівний 5,128330184 а F-Критичне 2,817927225, тобто F-Критерій далі від одиниці, чому критичне значення. Це говорить про те, що дисперсії різні й жаби із двох популяцій дійсно мають різну довжину передніх кінцівок.