5.2 Обчислення достовірності різниці між середніми арифметичними

В багатьох дослідженнях виникає потреба порівняти середні арифметичні двох груп тварин (наприклад, середня вага тварин дослідної та контрольної груп, середню продуктивність дочок двох заплідників або двох вибірок , складених із особин різних порід). Середні двох груп, що порівнюються, завжди деякою мірою відрізняються між собою. Тому важливо встановити, чи достовірна відмінність між середніми.

При розв’язанні задач токого роду визначають різницю між двома середніми ( ₁ та ₂). Ця різниця (d) дорівнює:

d = ₁ – ₂

Середню помилку різниці (m_d)обчислюють за формулою:

(27)

Після цього встановлюють нормоване відхилення різниці (t_d):

(28)

Величина t_d дає можливість оцінити достовірність різниці у порівнянні великих вибірок ‚ для цього можна використати дані таблиці 9‚ в якій наведені три стандартні величини t і відповідні їм ймовірності. Так‚ при (t_d): різниця достовірна у 99 випадках із 100 (99 %)‚ а при t_d = 3‚3 вона достовірна в 999 випадках із 1000(99‚9 %). Якщо ж величина t_d менша 1‚96‚ то різниця між середніми порівнюваними групами не може бути визнана достовірною.

При порівнянні малих вибірок m_d за формулою 27 можна обчислювати тільки тоді‚ коли обсяги вибірок (n) не різко відрізняються один від одного; а для визначення достовірності різниці користуються таблицею Стьюдента.

Розбір вирішення задач.

Припустимо‚що треба порівняти молочну продуктивність бестужевських та холмогорських первісток телиць (великі вибірки). В однакових умовах відгодівлі та утримання одержані такі середні надої за лактацію: по бестужевській худобі – ₁ ± m₁ = 2600 ± 30; по холмогорській худобі - ₂ ± m₂ = 3200 ± 40 кг. Необхідно встановити достовірність різниці між надоями худоби цих порід.

Обчислюючи t_d за формулами 27 та 28 маємо:

Отримана величина нормованого відхилення (t_d = 8) значно перевищує дані‚ наведені в таблиці 9. Тому можна з ймовірністю‚ що переважає 99‚9 %‚ стверджувати‚ що холмогорські корови молочніші за бестужевських.

Розглянемо інший приклад. Вивчається ефективність впливу мікроелементів при відгодівлі бичків. З цією метою взято дві групи (дослідна та контрольна) по 14 тварин з однаковою середньою вагою в кожній. Відгодовують їх, використовуючи однакові раціони‚ але в раціон тварин дослідної групи внесені мікроелементи.

По закінченні досліду та обробці початкових даних отримані такі результати: середня вага ( ₁) тварин дослідної групи 300 кг‚ контрольної ( ₂)- 260 кг. Середні помилки в дослідній та контрольній групах відповідно дорівнюють m₁ = 9 кг‚ m₂ = 6 кг.

Чи достовірні відмінності у вазі тварин дослідної та контрольної груп?

Не зважаючи на те‚ що порівнюють малі вибірки‚ помилку різниці можна визначати за формулою 27‚ так як в обох групах однакова кількість тварин - n₁-n₂= 14. Отже:

Значення ймовірності ‚ які відповідають знайденому t_d‚ визначаємо за таблицею Стьюдента (додатки‚ табл. 1). Для цього встановлюємо спочатку число ступенів свободи (υ).

В даному прикладі (порівняння двох вибірок) υ = n₁+ n₂- 2= 14+14- 2 = 26. Знаходимо в таблиці рядок υ = 26. Із п’яти стандартних значень t‚ які розміщені в цьому рядку‚ вибираємо число‚ рівне або більше за встановлене в нашому досліді (t_d = 3‚7). Таке число стоїть в останній графі. Верхній рядок цієї графи показує шукану ймовірність d = 40 кг. Отриману в даному прикладі ймовірність можна вважати високодостовірною. При р + 0‚999‚ цей результат слід підкреслити трьома рисками‚ при р = 0‚99 – двома‚ при р = 0‚95 – однією рискою.